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Estensione dei doppì strati. 



8. Supponiamo che la linea chiusa C sia tale che si possa fissare un 

 limite superiore del numero dei punti in cui essa è tagliata da una retta 

 qualsiasi del suo piano. Siano <pi(s) , <p 2 (s) , ... , cfi(s) funzioni finite e con- 

 tinue arbitrarie dei punti di C , sia s„ un punto generico di C con tangente 

 determinata. Indichiamo con p o con p' il punto secondo che appar- 

 tiene a e o a ff'; ed indichiamo ancora con u' h .k{s, s 0 ) ciò che diviene u h .k quando 

 il punto (x,y) = s varia su C e il punto (£ , rj) coincide con s 0 = (£',?/). 

 Ciò premesso, sussistono, come estensione della nota forinola di discontinuità 

 di doppio strato, le seguenti forinole: 



(13) lim- Y u h . t <f' t {s) ds = y ( fo.iyt(so) + — | T t u' h . t (s ,s<>) (p t (s)ds , 



f=S 0 ™ JcT 1 TCJc i 



1 C ' 1 1 r 4 



(14) lim— N u h . t <p t {s) ds== — y . 9>((s 0 ) + — T t u' h . t {s,s 0 ) g> t (s)ds. 



Dalle (12), (13) segue: 



(12) ' j =ÌJ 0 \ ' So) * + ( 0 ( s ' So) *+•••}*• 



[ (h = 1 , 2 , ... , i ; t = 0 , 1 , ... , i>— 1 ; &= 1 , 2 , ... , » — t). 



9. Le f funzioni: 



(15) ® h (£ ìV ) = - [ T t u m <p t {s)ds 



n Jc T 



formano un sistema di integrali delle equazioni (3), (4); e come estensione 

 del noto teorema di continuità della derivata normale di doppio strato, si 



ha che le espressioni X t relative alle , rj) hanno valori uguali dalle 

 due bande della linea C ; e precisamente, supposto che le coordinate dei 

 punti di C, considerate come funzioni di s, siano finite e continue insieme 

 alle loro derivate dei due primi ordini, e che le funzioni <f t {s) abbiano 

 le derivate del primo ordine finite e continue in tutto C , indicando con n 0 

 la normale alla linea C nel punto arbitrario s 0 , con X t l'espressione X f , 

 relativa alle <P h (^ , rj), costruita nel punto p dell'area a rispetto alla dire- 

 zione n 0 , con X t la medesima espressione costruita nel punto p' dell'area 

 infinita a', si ha che se esiste uno dei due limiti lim X t , lim X t , esisterà 



p=So p'=So 



anche l'altro, e tutti e due saranno uguali. 



