generica, osserviamo poi che si può anche ritenere che la stessa ipersuper- 

 ficie B a) non passi per alcun punto P,. Così se B (1) , ad es., che non passa 

 per Pi secondo l'enunciato del teorema, passasse per alcuni degli altri punti 

 Pi, aggiungeremmo al primo membro della (1), fattovi i = l, un prodotto 

 /? (1) F, essendo una ipersuperficie (composta, ad es., di coni ed iperpiani) 

 d'ordine opportunamente alto (eguale all'ordine di B (1) ), così che essa abbia 

 in Pi la nioltiplicità (almeno), non passi per alcuno dei detti punti P !5 

 pei quali passa B (1) , e passi per i rimanenti, pei quali non passa B (1) . Al- 

 lora è evidente che la B (1) -f- /3 (1> , che viene a comparire nella (1) invece 

 di B (1) , è una ipersuperficie che non passa per alcun punto P,. 



Oltre a ciò, possiamo supporre tutte le B (i) eguali, il che, se non fosse, 

 si ottiene moltiplicando la (1) per il prodotto B (1) ... B (!-1) . B" +1) ... 



Sicché, senza alcuna limitazione, l' ipotesi del teorema equivale a questa 

 altra, che per ogni punto P, si abbia una ipersuperficie 



(2) BF -f A[ i] F. + A< !) P 2 + - + A?F r = 0 



avente in esso moltiplicata tf ci) , essendo B una stessa ipersuperficie per tutti 

 i punti Pi , la quale non passa per alcuno di questi punti. 



Prendasi, in relazione a ciascun punto P ; , una ipersuperficie (Pi (com- 

 posta, ad es., di coni) di ordine abbastanza elevato (il medesimo per tutti 

 i punti Pi), la quale non passi per il punto P, ed abbia in ogni altro 

 punto Pi la moltiplicità <s a \ La ipersuperfìcie che si ottiene moltiplicando 

 la (2) per 3>; soddisfa manifestamente alla condizione del teorema del n. 4 

 (Nota 2 a ): onde la ipersuperficie 



0>,(BF -f A^F, H 1- kfW r ) = 0 



appartiene al modulo (PiF 2 ... F,-). Segue che a questo modulo appartiene 

 anche la 



<P;BF = 0 



ed anche, sommando tutte queste equazioni, la ipersuperficie 



F . B(<P, + <£ 2 + •••) = 0 . 



Ma, per la scelta fatta delle <Pj , la ipersuperficie data dalla somma fra le 

 parentesi non passa per alcuno dei punti Pi: e però, ciò essendo anche per 

 la ipersuperfìcie B, dalla precedente segue, in virtù di un teorema noto 

 che F appartiene al modulo (Fi F 2 ... F r ) : c. d. d. 



Q) Severi, Su alcune proprietà..., n, 4, già citato nella Nota l a . 



