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Le Aj , A 2 , ... formano la serie delle costanti della funzione caratteri- 

 stica K(s ,t); le funzioni 



g>i(s) , ; i ; - 



formano la sene de^e coppie di funzioni ortogonali della medesima K(s,i). 



Circa un anno fa avevo notato ('), come conseguenza di un risultato 

 di Schmidt ( 2 ), che 



a) se l'equazione (1) ammette una soluzione , la funzione g(s) deve 

 necessariamente avere la forma: 



(4) g(s) == J_ d u g>,{s) = y g>v(s) f g(r) jp,(r) ; 



ed in una successiva Nota ( 3 ) avevo aggiunto che 



/?) se l'equazione (1) ammette una soluzione h(t), tale che il suo 

 quadrato ]h(t)[ 2 sia una funzione atta ali 'integrazione nel campo (a , b), 

 la serie (3) sarà convergente. 



2. Si osservi che soltanto nel caso di una funzione caratteristica chiusa 

 la condizione a) è inclusa nella condizione /S) ; ed invero, mentre dalla con- 

 vergenza della serie (3) segue in ogni caso la convergenza assoluta ed uni- 

 forme della serie al secondo membro della (4), avviene soltanto nel caso 

 di una funzione caratteristica chiusa che questa serie rappresenta certa- 

 mente la funzione g(s) ; infatti sussiste il seguente teorema ( 4 ) : 



y) se la funzione caratteristica K(s , t) è tale, o meglio se la cor- 

 rispondente serie di funzioni y>-»{s) è tale che la serie al secondo membro 

 della (4), quando converge ed è integrabile termine a termine, rappresenta 

 certamente la funzione g(s), si ha che non esistono soluzioni dell'equazione 

 (2); e viceversa. 



Adunque le condizioni necessarie a) e /?) in generale sono distinte; ed 

 ora dimostreremo, usufruendo dell'accennato risultato di Riesz ( 5 ), appunto 

 come fa Picard, che le condizioni a) , /9) sono anche sufficienti. 



(') VeJi il § 3i della mia Nota: Sopra alcune equazioni integrali. Questi Rendi- 

 conti, 21 giugno 1908. 



( 2 ) Math. Ann., Bd. LXIII, Heft 4. 



( 3 ) Sulle vibrazioni ielle piastre elastiche incastrate. Art. I, § 2. Questi Rendi- 

 conti, 6 settembre 1908. 



( 4 ) Vedi la mia cit. Nota- Sopra alcune equazioni integrali, § 6. 



( s ) Più opportunamente basterebbe applicare un teorema sulla convergence en mo- 

 yenne del sig. E- Fischer (Comptes rendus, 13 mai 1907, pag. 1023), il quale dimostra 

 in altro modo il teorema di Riesz. 



