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Infatti dalla convergenza della serie (3) risulta, in virtù del teorema 

 di Riesz, l'esistenza di almeno una funzione h(t), integrabile insieme al suo 

 quadrato ] h(t){* nel campo (a , b), e tale che 



A, &, = f h(t) xp,(t) dt. (v = 1 , 2 , ...) 



J a 



Posto : 



(5) 9i(s)= CK{s,t)h{t)dt, 



J a 



dovrà aversi, applicando a questa equazione integrale la condizione a), 



v ■'a 



e poiché (cfr. Picard, loc. cit.) 



(6) f 0,(r) ^(r)dr = f g{r) (p^(r) dr , 

 risulterà, in virtù della (4), 



9(s) = 9i(s) , 



come si voleva dimostrare. Quindi si può enunciare il seguente teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'equazione integrale (1) 

 ammetta una soluzione h(t), atta all'integrazione insieme al suo quadrato 

 )h{t)\ ì nel campo (a , b), è che la serie (3) sia convergente e la funzione 

 data g(s) sia esprimibile mediante la serie (4). 



3. Questo teorema può mettersi sotto un'altra forma, la quale può riu- 

 scire utile nelle applicazioni. 



A tal fine indichiamo con 



(7) «.(O , 6 2 (t) , ... 



le eventuali soluzioni diverse da zero dell'equazione (2), ossia le eventuali 

 funzioni per le quali si ha: 



Ce{l) tp\{t) dt = 0; 



J a 



e si osservi che, se l'equazione (1) ammette una soluzione, si deve necessa- 

 riamente avere: 



(8) f g(s) 6,{s) ds = 0 



per tutti i possibili valori di v . 



