Ora vogliamo dimostrare che la convergenza della serie (3) e le con- 

 dizioni (8) sono sufficienti per l'esistenza di una soluzióne almeno dell'equa- 

 zione (1). Infatti dalla convergenza della serie (3) risulta, come si è detto, 

 l'esistenza di una funzione h(t) tale che, scritta la (5), si avrà la (6), ossia 

 si avrà per qualunque valore dell' indice v : 



I 



b 



\g{r)—9i(r)[q>v(r) dr = 0 . 



Di qui risulta che l'espressione g(r) — g x {r) o è identicamente nulla, o coin- 

 cide, a meno di un coefficiente costante B, con una delle funzioni (7), ossia: 



(9) g { r)-g l (r) = B6 l (r). 



Per altro dalla (5) segue per tutti i possibili valori di v 



(8)' fVi(s) Os(s) ds = 0; 



e quindi ancora: 



fW)-^)!^) ds = 0. 



Questa ci darà nell' ipotesi (9) : 



o =£\g{s) - gi{*% »,(«) ds = i j\( S ) - fc(,)J« ds ; 

 e così si avrà in ogni caso: 



9i(s) = g(s)- 



Adunque condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'equazione inte- 

 grale (1) ammetta una soluzione almeno, la quale sia atta all'integrazione 

 nel campo {a , b) insieme al suo quadrato, è che la serie (3) sia conver- 

 gente e che la funzione data g{s) soddisfaccia alle condizioni (8). 



4. Rammentiamo qui, conformemente a quanto fu stabilito al § 6i 

 della mia citata Nota: Sopra alcune equazioni integrali, che, se h(t) è 

 una soluzione dell'equazione integrale (1), e %{t) una funzione arbitraria 

 atta all'integrazione nel campo {a , b) e tale che la serie 



X*M0 fV) <M r ) dr > 



IL J 0. 



