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dove A è un'operazione lineare univoca e continua qualunque, tale che per 

 gli elementi f dello spazio funzionale che si considera sia 



dove g è un numero positivo. La validità dello sviluppo (2) ha luogo sotto 

 la condizione 



(4) \z\<g. 

 Che l'operazione che figura in (1), cioè 



A^J^A^^ + B^) ip(v)^dx 



goda delle proprietà indicate, risulta manifesto dalle condizioni poste dall'A. 

 all'inizio della sua Nota e dal principio della pag. 495. 



La serie della forma (2) serve anche, in modo analogo, alla risoluzione 

 dell'equazione funzionale più generale: 



(5) 9 (y) - m P I A,(* . y) ^fe} dx = f{y)ì 



*J a v=o 



le k s (x , y) essendo funzioni soggette alle solite condizioni. 



Non si deve però omettere una avvertenza essenziale: se la serie (2) 

 ha il vantaggio di mostrare il carattere analitico della soluzione dell'equa- 

 zione (3), e se ne fornisce effettivamente la soluzione e ne prova 1' unicità 

 per valori del parametro z abbastanza piccoli in valore assoluto, occorrono r 

 come è ben noto, altri sussidi per prolungare la soluzione ai valori di z 

 non soddisfacenti alla (4). Ed è appunto nel fornire un tale sussidio che 

 risiede l' importanza del metodo di Fredholm per la sua classica equazione 

 funzionale — la (5) in cui è supposto m = 0 Ora, che questo metodo 

 sia estensibile dall'equazione di Fredholm all'equazione (5) e quindi anche 

 alla (1), è mostrato in un notevole lavoro di E. Bounitzky ( 2 ) evidentemente 

 sfuggito al dott. Crudeli ; a dir vero, il Bounitzky tratta l'equazione (5) per 

 il caso di z=l, ma l'estensione a z qualunque e la conseguente formazione 

 della funzione analitica che dà la soluzione al variare di s, non presenta 

 alcuna difficoltà. 



(') Circa ad ipotesi che permettono il prolungamento della funzione analitica defi- 

 nita dalla serie (4) nel caso di operazioni lineari generali, v. la citata Memoria del t. III. 

 delle Meni. dell'Accademia di Bologna. 



( 2 ) Bulletin des Sciences mathématiques, ser. 2 a , t. XXXII, pag. 14 (1908). 



