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mento seguito dal Weber, dimostra in modo rigoroso e semplice che la for- 

 mula (1) è valida quando la funzione ip(X) soddisfa a questa condizione: 

 I. xp{X) è, da un certo punto in poi, monotona e tende a zero per 



X = 00 . 



Dunque possiamo dire senz'altro che la formula integrale di Fourier 



| /»co /""» co 



(2) - da ip(X) cos a(X — x)dl = tp(x) 



è valida quando è verificata la I e quando ip(X) soddisfa inoltre alle seguenti 

 condizioni : 



IL ip(X) ha in ogni finito intervallo un numero finito di massimi e 

 di minimi; 



III. ip(X) può in singoli punti diventare infinita purché relativamente 

 a tali punti si conservi la convergenza dell' integrale 



dX 



(esteso, si capisce, a limiti finiti); 



IV. in caso di discontinuità si deve intendere 



2 



Infatti, quando la funzione ip{X) verifica le condizioni II, III e IV essa ci 

 rappresenta la funzione arbitraria nel teorema di Dirichlet, Allora se con- 

 sideriamo l' integrale 



da i tp(X) eoe aX dX, 



a J a 



è evidente che possiamo scrivere 



(P = lim f^da f xp(X) cos aX dX ; 



e quando p si mantenga finito si può invertire l'ordine d' integrazione e sarà 



J~f* C h C h C b sin f(X 



da I ip(X) cos aX dX— I xp(X) dX I cos aX dX = I xp(X) — - — dX 

 a J a Ja J § J a " 



e quindi 



<P = lim C b tp(X)^^dX, 



