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Supponiamo, per esempio, che si ponga 



(7) ^TifW+j;^ 



dove le tpi{X) verifichino la condizione I e le Rjj.(A) siano tali che 



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a 



sia convergente; questa funzione W(X) si può rappresentare con la formula 

 integrale di Fourier. Notiamo intanto che ogni funzione ipj(X) si può rap- 

 presentare mediante la formula integrale di Fourier e quindi anche la loro 

 somma sarà rappresentabile con la stessa formula, poiché, come è noto, la 

 somma degli integrali è uguale all' integrale della somma. 



Resta a vedersi che cosa succede delle altre funzioni R,,.(A) quando, 

 come abbiamo detto, sia 



| Rp.(A) ] dX convergente. 



a 



Quando ciò si verifichi possiamo scrivere senz'altro (') 



/"•co r"*> r<ù 



da I Rp.(A) cos aX dX = I U v .(X)dX cos aX dX ; 



ma è 



da Rjj.(A) cos aX dX = lim I da I ~Rp{X) cos aX dX = 



0 J a (o=o6 J o J a 



f°° r w P°° sin avi 



= lim R[j.(A) dX cos «A = lim R,j.(A) ■ — ^— dX 



(o=oo .vo (o=oo <J a ™ 



e per il teorema di Dirichlet (sempre quando R^A) soddisfi alle condizioni 

 di Dirichlet) si può scrivere 



da R ( ,.(A) cos aX dX = 0 a > 0 ; 



e questo basta come si è già detto, per stabilire che anche Rp.(A) e quindi 

 "5" Rjx(A) si può rappresentare mediante la formula integrale di Fourier: 

 T 



quindi tutta l'espressione (7) è rappresentabile con la formula integrale di 



s-> co 



Fourier quando I | Rp.(A) | <a?A sia convergente. 



J a 



Una delle funzioni *P(A) alle quali non si potrebbe applicare nè il cri- 

 terio di Weber, nè quello del sig. Pringsheim, è per es. : 



1 1 , sin* 2 



4>(X) 



log (2 + A 2 ) yi+v 



(») Riemann- Weber, Die partiellen Differentìalgleichungen der mathematischen 

 Physik. Volume I, § 11. 



