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L' integrale generale di questa equazione lineare del secondo ordine ri- 

 sulta costituito dalla somma di due parti: 



1°) un integrale particolare dell'equazione completa; 



2°) la funzione complementare, ossia l'integrale generale dell'equa- 

 zione ridotta omogenea. 



Introduciamo nella (2) il simbolo operatore D = che si può trat- 

 tare come una quantità algebrica ( J ), ed essa prende la forma: 



(D 2 + 2«D -f £ 2 ) a = Sì 0 + -t , 



dalla quale si ricava: 



a = 



D 2 -f- 2«D -f iS 2 



(*•+?') 



Sviluppando poi in serie , * , 2 , e facendo le opportune elimi- 

 nazioni si ottiene: 



cioè 



(3) a = ^( fl « + 7 < -?7) 



che è un integrale particolare della (2). 



La funzione complementare è l'integrale generale dell'equazione: 



a" + 2aa! + = 0 . 



Questo integrale rappresenta il moto proprio del sistema oscillante, e, com'è 

 noto, prende diverse forme secondo che l'equazione caratteristica ammette 

 due radici immaginarie, una doppia reale, o due reali e distinte. Il moto 

 quindi è oscillatorio di ampiezze successive decrescenti: 



(4) a = e-* 1 [Ai cos ^ 2 — « 2 1 + B> sen j//? 2 — a 2 1] 



2n 



se /S 2 > « 2 ; crescendo lo smorzamento, il pseudo periodo Tj = 



y/? 2 — 



va aumentando finché il moto non diviene aperiodico: 



(5) a = A 2 e- a( [l + B 2 0 



O Vedi A. Russell Forsyth, Trattato sulle equazioni differenziali. Traduzione del 

 dott. Arbicone (Livorno, ediz. Giusti), pp. 35 a 40. 



