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è integrabile superficialmente in R. Da ciò segue 



dx ) f{xy)dy= \ f(xy)dxdy = dy f(xy) dx 



Consideriamo, a tale scopo, una successione 



li , lì , ... , l n , ... 



di numeri positivi, crescenti e tendenti all' infinito, ed indichiamo con f n {xy) 

 la funzione che è uguale a f{xy) in tutti i punti di R in cui è f(xy)<.l n , 

 ed uguale a zero altrove. La fU%y) risulta, così, limitata, misurabile ed 

 integrabile in R, e non negativa. Inoltre, per definizione d'integrale, è 



lim I f n {xy)dy = ) f{xy)dy. 



Siccome, poi, l' integrale 1 f n {xy) dy è una funzione positiva, non decre- 



J c 



scente al crescere di n, ed esiste, per ipotesi, l'integrale 



f fife (lim f f n {xy) dy) = f dx f f{xy) dy , 



Ja \n=x J c ! Ja Je 



esiste il limite 



fx ry 

 lim dx f n (xy)dy 



n=oo J a J c 



ed è 



rx ry rx ry 



(2) lim dx fn{xy) dy — dx f(xy) dy . 



n—xJa Jc Ja Jc 



Infatti, dall'essere sempre f' n (xy)<-l n , risulta ( 2 ) l'esistenza di 

 \ dx \ f n (xy)dy. 



J a J e 



Dall'essere, poi, f n {xy) js. f{xy), risulta 



rx ry rx r.y 



dx f n (xy)dy< dx f{xy)dy. 



J a Jc Ja J c 



Poiché il primo membro di questa disuguaglianza non decresce al cre- 

 scere di n, risulta che ne esiste il limite per n = cc, e quindi — per un 



C 1 ) Con ftxy) dx dy , o A r .V) don, dy , indico l' integrale superfl- 



ua Jc Jc J^a 



ciale di f{xy) esteso al rettangolo determinato dalle rette x = a , x = x x , y = c , y = y^ 



( a ) Vedi G. Fubini, Sugli integrali multipli. Rend. R. Acc. dei Lincei, 1907). 



