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noto teorema di B. Levi ( l ) -sull'integrazione per serie (applicato alla suc- 



Cv ry 



cessione di funzione | f\{xy) dy , fi(xy) dy . ...) — che è vera la (2). 



J c J c 



Ma, essendo f»(xy) superficialmente integrabile, è ( 2 ) 



rx ry rx ry 



f n {xy) dx dy = dx f n (xy) dy , 



J a -J c J a 



e quindi 



rx ry rx ry fx ry 



lim f»(xy) dx dy = lini dx I f n {xy) dy — \ dx I f{xy) dy . 



Ciò vuol dire — per la definizione stessa d' integrale — che esiste l' inte- 

 grale superficiale di f(xy), e che è 



rx ry rx ry rx ry 



f(xy) dx dy — lim I f„{xy) dx dy = dx I f{xy) dy . 



<J a *J c n~a> <J a J c -'a J c 



Dalla proposizione del Fubini, già usata, risulta, allora, completamente di- 

 mostrata la (1). 



Da quanto precede si deduce anche che una funzione f(xy) misura- 

 bile superficialmente, e tale che esista 



rx ry 

 dx \f{xy)\dy, 



è integrabile superficialmente, e per essa vale la (1). 



2. Se f(xy) è integrabile superficialmente, esiste ( 3 ) — eccettuato al 



più i valori di y di un insieme di misura nulla — l'integrale lineare 



rx 



f(xìj) dx. Quest'integrale sarà una funzione superficialmente integrabile? 



'a 



Dimostreremo che sì, e precisamente che 



se f{xy) è una funzione integrabile superficialmente, la funzione uguale 

 a ) f(xy) dx nei punti ove quest'integrale lineare esiste, e nulla altrove, 

 è superficialmente integrabile. 



(') Eendic. Istituto Lombardo, 1906. 

 ( 3 j Fubini, loc. cit. 

 (°) Fubini, loc. cit. 



