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Consideriamo, dapprima, il caso delle funzioni limitate (\f(xy)\<^M). 

 Ponendo 



F(x,y)= f{xy)dxdy 



<J a yf e 



1 r u r u 



DF(cc , y) = lim — f(x -\-Ui ,y-\- u 2 ) du x du 2 



M=-i-o U J o .^n 



w=-t-o U -J o 



j. F(x -{- Ui ,y-\-u) — Y(x -\-u ,y)— F(x , y -f- u) -f- F(a?y) 



si ha (') 



V¥{x,y) = f(xy) 



in tutti i punti di R, eccettuati al più quelli di un insieme di misura 

 superficiale nulla. Ricordiamo, ora, che i punti di un insieme di misura 

 superficiale nulla possono formare, sulle rette y = y, insiemi di misura li- 

 neare non nulla solo per un gruppo di valori di y di misura (lineare) nulla. 

 Da ciò segue che — eccettuati i valori di y di un insieme lineare J di 

 misura nulla — sulla retta y — y , DF(a2 ,y) e f{x,y) differiscono solo 

 nei punti di un insieme di misura lineare nulla; e quindi che su tale 

 retta è 



V~F(x , y) dx = f{xy) dx 



a *J a 



Questi due integrali costituiscono due funzioni le quali differiscono, per 

 quanto precede, solo dalle rette y = y dell' insieme J, vale a dire, solo nei 

 punti di un insieme di misura superficiale nulla. Ne segue che, se la prima 

 delle due funzioni dette è superficialmente misurabile, tale è anche la seconda. 



Ora, dalla sua stessa definizione, DF(# . y) risulta funzione limite di 

 funzioni continue; ed avendosi 



F(x -j- u ,_y -f- u) — F(x -\-u,y) — F{x , y + u) + F(xy) 



1 f 



f{x -j- Ui , y -4- u 2 ) du t du-2 j 

 f(x -f- Ui , y -\- u 2 )\ du t du% <C M , 



per un noto teorema siili' integrazione per serie, ti ba 



C x 1 C x ® 



I DF(x y) dx = lim — ) F(x + u , y + u) — F(x -\-u,y) 



— F(x , y -j- u) -f- F(xy) \ dx . 



(') G. Vitali, Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, Atti R. Ac- 

 cademia di Torino, 1907-08 (§ 4 e 5\ 



Rendiconti. 1909, Voi. XVIII, 2" Sem. 34 



