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X 



Dunque DF(xy) dx , come funzione limite di funzioni continue (rispetto 



all' insieme delle variabili x , y), è misurabile superficialmente. Tale, perciò, 



è anche J f(xy)dx, la quale funzione risulta così (essendo |/|<^M) su- 



perficialmente integrabile. 



Passiamo, ora, al caso delle funzioni illimitate. Ponendo / \(xy) = f(xy) 

 nei punti nei quali è f{xy)>.§, e fi{xy) = 0 altrove; f 2 (xy) = — f{xy) 

 nei punti nei quali è f{xy) <C 0, e f%(xy) = 0 altrove ; si ha 



f{xy) = fi{xy) — fi{xy) , 



con j\ , fi , funzioni sempre maggiori o uguali a zero. Essendo poi integra- 

 bile f(xy), lo sono anche f\ e f 2 . Per dimostrare il teorema basta, dunque, 

 far vedere che esso è vero per una funzione f(xy) non negativa. 



Consideriamo una successione di numeri positivi, crescenti e tendente 

 all' infinito : 



ed indichiamo con (f n (xy) la funzione, positiva o nulla, che è uguale a f(xy) 

 nei punti ove è f<.l n , ed uguale a zero altrove. Dalla definizione stessa 

 d' integrale, risulta 



r-cc Cx 



lim <p n [x ,y)dx= f(xy) dx ; 



rx 



e la funzione y> n dx , essendo limitata (<p n <. /„), è, per il caso già stu- 

 diato, misurabile superficialmente. La f\wy) dx , essendo così funzione 



J a 



limite di funzioni misurabili, è misurabile superficialmente. 



rx ry 



Si ha, poi, essendo f{xy) dx dy funzione continua, e quindi in- 



tegrabile superficialmente e linearmente, ed in forza di una proposizione del 

 Fubini già usata, 



■"a; rx 



dx 



J~y W ■ rx ry rx 



f(xy)dxdy = dx I dy ) f{xy)dx. 

 c -s a J c y> a 



Si può, perciò, applicare alla funzione I f(xy) dx il teorema del n. 1 e 



•J a 



concludere che tale funzione è superficialmente integrabile. 



La proposizione propostaci in principio di questo numero è, così, pie- 

 namente dimostrata. 



