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Dalla dimostrazione precedente risulta anche che se f(xy) è una funzione 



rx 



misurabile superficialmente, e se esiste l'integrale lineare I f{xy) dx , 



J a 



quest'integrale è una funzione superficialmente misurabile. 



3. Veniamo, finalmente, alla forinola d'integrazione per parti annun- 

 ciata. Siano le due funzioni f(xy) , g>(xy) superficialmente integrabili. Con- 

 servando le notazioni del numero precedente, avremo 



f(%y) = fiipy) — h{xy) 



tp(xy) = tf>i(xy) — <f,{xy) , 

 dove fi , f z , g>i , $p 2 , sono funzioni non negative e integrabili. Ponendo 



rx ry 



V(xy) = f( x v) dx dy 



•J a J c 



rx ry 



®(xy) = <f(xy) dx dy 



J a c 



avremo 



F(xy)= C J f^xy) dx dy - P ^ f,{xy) dx dy = F^(x,y) — F™(x , y) 



rx ry rx ry 



W(xy)=\ <fy{xy) dx dy — <p 2 {xy) dx dy=Q aì (z ,y) — 4>™(x,y) . 



' a J c J a J e 



Consideriamo, ora, l' integrale ^ 



"x ry 



F (v (xy) <Pi(xy) dx dy . 



Per la proposizione del Fubini già ricordata, potremo scrivere 



rx ry r* rv 



F cl Vi dx dy = dx F (lì <p l dy , 



•■'a J c 'a c 



ry 



ed applicando l'integrazione per parti all'integrale lineare I F^^tfy, 



J c 



rx ry rx / ry \ 



J J F< 1) < fl dzdy=J F (l) M <p,dy\dx 



ry rx 



Le funzioni I (p l dy , fi dx sono, per il n. 2, superficialmente misurabili, 



J c J a 



tale, perciò, è anche il loro prodotto ^ ,f ^'^)(J~ ^ < l ua ^ e ® 



una funzione non negativa. 



