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Matematica. — Osservazione su di una proprietà degli inte- 

 grali di una classe di equazioni differenziali. Nota del Corrispon- 

 dente E. Pascal. 



Le equazioni differenziali che qui vogliono considerarsi sono quelle del 



tipo 



in cui y è la funzione incognita di x, e 7 n (y) rappresenta un polinomio 

 di grado n in y, con coefficienti funzioni di x, e la proprietà di cui vogliamo 

 trattare ha relazione con quella famosa, scoperta da Ed. Weyr e Picard, della 

 costanza del rapporto anarmonico di quattro soluzioni particolari delle equa- 

 zioni di Riccati, che rientrano appunto nel tipo (1) per n = 2 . Le equazioni 

 di questo tipo sono state ripetutamente studiate, ma con poco successo. 



La proprietà surricordata corrisponde evidentemente a ciò : che le curve 

 rappresentanti gli integrali particolari di un'equazione di Riccati segano su 

 due qualunque rette perpendicolari all'asse delle x, due punteggiate proiet- 

 tive, donde deriva poi che le corde di tutti gli archi di quelle curve, archi 

 limitati sempre da due rette perpendicolari all'asse delle x , inviluppano 

 una conica. 



Facendo indefinitamente avvicinare fra loro le indicate due rette paral- 

 lele, possiamo conchiudere che, considerando tutte le curve integrali di una 

 equazione di Riccati, le tangenti ad esse nei punti di eguale ascissa, invi- 

 luppano una conica. 



Ora vogliamo osservare che quest' ultima proprietà può estendersi alle 

 curve integrali delle equazioni differenziali di tipo (1), e propriamente che 

 le tangenti alle curve integrali di (1), nei punti aventi la medesima ascissa, 

 inviluppano una curva di ordine n, cioè di ordine eguale al grado del 

 polinomio P„ . 



Ed infatti, osservando che l'equazione della tangente ad una curva in- 

 tegrale di (1) in un punto di ascissa x, è 



e che l' inviluppo di questa retta, considerandovi y come parametro varia- 

 bile, e x fisso, è dato dal discriminante, eguagliato a zero, della precedente 

 equazione (2) algebrica in y , indicando con Q 0 , Qi , Q 2 , ... i coefficienti del 



(1) 



y' = P«(y) 



(2) 



Y — y — (X — x) P„(j/) = 0, 



Eendiconti. 1909, Voi. XVIII, 2° Sem. 



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