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Si hanno curve che hanno tutte un flesso nel punto in cui incontrano 

 l'asse delle x. 



Il nostro strumento può dunque servire a descrivere con moto continuo 

 la catenaria, e le curve che rappresentano l'andamento delle funzioni seno 

 e coseno iperbolici. 



4. Risoluzione delle equazioni algebriche. — Descritta collo stesso 

 strumento e nel modo indicato nel n.° 2 la curva di equazione y = e~ x , si 

 integri collo strumento questa curva. 



Ponendo in (2), Q = e~ x , si trova 



(9) y = (w + C)e-*. 



Integrando nuovamente col medesimo strumento la curva rappresentata 

 da questa equazione, si trova la curva 



(10) y = (ìx 2 -\-Cx-\-C')e- x ; 



e così seguitando, colla successiva integrazione delle curve volta per volta 

 ottenute, si ha una curva la cui ordinata è rappresentata dal prodotto di un 

 polinomio, di un certo grado, per l'esponenziale e~ x . I punti nei quali queste 

 curve tagliano l'asse delle x corrispondono evidentemente alle radici reali 

 del polinomio, giacché l'altro fattore esponenziale non si annulla per nessuna 

 x finita. Si ha così il mezzo di costruire graficamente le radici reali di qua- 

 lunque equazione algebrica. 



Giacché sia assegnata un'equazione, che per fissare le idee supporremo 

 di 3° grado e sotto la forma 



\ x 3 + \ M.jc 2 + N» + P = 0 . 



Le successive derivate s'ono 



{x 2 4-Mx4-N 



a>-+M. 



Integriamo prima la curva y = e~ a: stabilendo le condizioni iniziali 

 in maniera che mentre la punta differenziale poggi sul punto di ordinata 1 

 (e quindi di ascissa zero), la punta integrale poggi sul punto di ordinata M; 

 indi integriamo la curva così ottenuta colle condizioni iniziali : punta diffe- 

 renziale sul punto di ordinata M , e punta integrale sul punto di ordi- 

 nata N; infine integriamo ancora la curva ottenuta collocando inizialmente 

 la punta differenziale nel punto di ordinata N e la punta integrale in quello 

 di ordinata P; abbiamo così infine una curva che nelle sue intersezioni 

 coli' asse delle x , dà le radici reali dell'equazione data. 



5. Altre equazioni differenziali che possono integrarsi collo stesso 

 strumento. — Nello strumento quale lo abbiamo finora adoperato, il piano 

 verticale della rotella D contiene la riga F . Ma sullo strumento da me fatto 



Rendiconti. 1909, Voi. XVIII, 2° Sem. 42 



