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 Dopo ciò il sistema (12) (12') diventa 



(13) 



li 



+ W, = U r - I p. I ^~ I («, B& + fa + yy Gsj) 



SÌ 



(fa y W _ 



che ha la forma cercata. 



Quando i vincoli, pur non dipendendo dal tempo, non sono olonomi, 

 quali modificazioni subiscono l'equazioni trovate? Tn tal caso le (3) sono 

 sostituite da equazioni del tipo 



(14) y{a hi x' l J r ò hi y'-{-c h i3') = h = 0 (h= 1 , 2 , ... , k) ; 



non è più nulla, non essendo <tu , b h i , Cm le derivate parziali d' una stessa 

 funzione L h . Per conseguenza nel 2° membro della (12) comparirà anche 

 questa somma oltre quella già esistente ('). Ma l'analogia di queste due 

 somme permette di pensarle compendiate in una sola (quella già scritta in 

 (12)); onde si può dire che le (12) valgono in ogni caso, salvo a dar loro 

 la giusta interpretazione. E l' interpretazione è questa : Supponendo, per stare 

 nel caso più generale, che vi siano alcuni vincoli olonomi e altri non olo- 

 nomi, vi saranno k equazioni del tipo (3) (per esempio le prime k), k y equa- 

 zioni del tipo (14) (le successive da k -}- 1 a k x ), e le rimanenti (da k x -f- 1 

 a 3ra) equazioni di trasformazione del tipo (3'). Allora nelle (12) l'indice s 

 va esteso prima da 3n a k x -j- 1 (diminuendolo), poi da k x a k -f- 1 mu- 



tando in — — ; la rimanente somma da k a 1 essendo identicamente 



~òu s ~òSs 



nulla. Il sistema (12) (12') risulta così formato di 6n — k x equazione del 

 prim' ordine con altrettante incognite ( 2 ). 



Lo stesso dicasi, mutatis mutandis, pel sistema (13) (13'). 



I sistemi (12) (12') o (13) (13') contengono come caso particolare le 

 ordinarie equazioni di Lagrange o di Hamilton, quelle di Boltzmann (dette 



C) E evidente che la somma contenente i moltiplicatori relativi ai vincoli non olo- 

 nomi svanisce in virtù della (5) per r—h. 



( a ) E da notare che in — — compariscono la sole u, essendo nulle le £. 



e allora 



