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Matematica.. — Nuove osservazioni sulla formula integrale 

 di Fourier. Nota del dott. L. Orlando, presentata dal Corrispon- 

 dente A. Di Legge. 



La formula integrale di Fourier, cioè la seguente formula 



è verificata quando xp(x) è una di quelle funzioni che si sogliono chiamare 

 arbitrarie, perchè vincolate da condizioni poco restrittive. 



Recentemente l'autorità del Pringsheim (') ha richiamato l'attenzione 

 degli studiosi sulle condizioni relative al modo di comportarsi di ip(x) per 

 x = r±= ce . Nel Riemann- Weber ( 2 ) figuravano le seguenti condizioni : 



1) tp(x) ha in ogni finito intervallo un numero finito di massimi e 

 di minimi (o anche non ne ha affatto); 



Queste, che possiamo chiamare condizioni all'infinito, erano, con altre 

 condizioni al finito, enunciate ivi come sufficienti perchè la formula (1) fosse 

 valida. 



La condizione 1) dice che se h è un arbitrario numero fisso, e se f è 

 un numero che riguarderemo variabile, allora nell' intervallo (£ , £ -{- h) è 

 sempre contenuto un numero finito di massimi e di minimi, o anche nes- 

 suno. Essa non dice se, col tendere di £ all' infinito, questo numero finito 

 di massimi e di minimi (variabile con £) rimanga in limiti fissi o possa 

 esorbitare da ogni limite. 



Comunque sia, il Pringsheim infirma la dimostrazione del Riemann- 

 Weber, facendo notare che essa si fonda sopra un equivoco. 



Sulla scorta di questa critica e delle nuove idee ivi contenute, io di- 

 mostrai ( 3 ) che la (1) è valida quando valga la seguente condizione : 



A) xp(x) tende a zero in modo monotòno per x = rfc co . 



O V. la Nota Ueber das Fouriersche Integraltheorem. Jahresbericht der deutschen 

 Math-Vereinigung, 1907. 



( 2 ) Partiellen Differentialgleichungen... ecc., voi. I. 



( s ) Sulla formula integrale di Fourier. Questi Rendiconti, ottobre 1908. 

 Rendiconti. 1909. Voi. XVIII, 2° Sem. 46 



(1) 



convergente in modo assoluto. 



