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La sig. na G. Graziarli (*) osserva che tale condizione si può estendere, 

 che cioè la formula (1) è anche valida quando ip(x) è la somma di funzioni 

 che verificano individualmente la A), e di un'altra funzione R(cc) che renda 



/"•OO 



convergente in modo assoluto l' integrale I H(x) dx . 



sin x 



Supponiamo ora di considerare la funzione ip(x) = — per ogni x 



yx 



positivo, e poi =0 per ogni x negativo e per x = 0 . Potrà questa fun- 

 zione essere rappresentata coli' integrale di Fourier? A questa domanda ri- 

 sponderebbero affermativamente le condizioni 1) e 2), se ne fosse dimostrata 

 la sufficienza. Ma, avendo avuto occasione di dover dare una risposta sicura, 

 pensai di ricorrere al calcolo diretto dell'integrale doppio 



(2) f da f ^3 cos a (/l — x)dX. 



J<* yx 



Sebbene la condizione che figurerà in fine del presente lavoro renda 

 inutile questo sviluppo, credo tuttavia che non sarà male farne conoscere i 

 particolari. 



Vale intanto la formula 



. , , , . sin [(1 + a) X — axl + sin [(1 — a)X-\- ax'] 

 sin / cos a(X — x) = — — — - — = L -^ — - ■ 



a 



sin (1 -j- a) X cos ax — cos ( 1 -j- a) X sin ax -4- 

 = _ 



-f- sin(l — a) X cos ax -f- cos(l — a) X sin ax 

 2 [ ' 



Dopo ciò, si ottiene per l'integrando (2) il valore 



, / r°siii(l + «)A . pcos(l + a)2 



da ( cos ax — * — _ di — sin ax — - — - dX 

 \ Jo 2\/X Jo 2\/X 



p s jn(l — a )X . f " cosq — a)X A 



+ cos ax — 51 — f dX -4- sin ax — J — -= dX ) , 



^ Jo 2]/X Jo 2|/A / 



che terremo in questa forma per a < 1 , e scriveremo, invece, per a 1 , 

 in quest'altra: 



. / f x sin(l + «H L . f °° cos(l -\-a)X „ 



da j cos ax — 1 — - dX — sin ax — 1 — '- dX 

 \ Jo 21/4 J ° 



2\/X J o 2\/X 



r°sin(« — l)X . . p C os(a — 1)X > 

 — cos ax — - — dX -4- sin ax — - — -=^— dX 

 Jo 2]/X Jo 2.yX ) 



Per a = 1 , è evidentemente inutile scegliere fra una forma e l'altra. 

 (') Sulla formula integrale di Fourier. Questi Rendiconti, settembre 1909. 



