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 Valendoci ora delle formule 



(3) 



ben note ed operando la sostituzione X = 2*, noi troviamo, senza fare 

 evidentemente nessuna eccezione per a = 1 , che l' integrale (2) ha il valore 



1 . /ti / f °° cos «a; ^ P 00 sin P 1 cos «a? ^ 



f 1 sin a# , f 00 cos ccx , . P" sin ax , \ 



+ da — — — cto + — da ) . 



Joyl — a Jy^/a—l Ji \/a—l J 



Operiamo ora nei primi due di questi integrali la sostituzione /? = 1 -f- a, 

 nei due successivi la sostituzione § — 1 — a , e negli ultimi due la sostitu- 

 zione /? == a — 1 . Allora ci ridurremo alla seguente espressione : 



K «U. 21/3 " 



sin(/5 — 1) a; 



2 y> J ° 2 



_ r-rintf+l), V 



^0 2 y> ^0 2 y^ / 



la quale, se sviluppiamo i numeratori, diventa 



La solita sostituzione, cioè @ = s 2 , ci fa trovare per le formule (3), l'espres- 

 7T sin ce 



sione =— , uguale dunque all' integrale (2) per ogni x positivo ; perciò 



y x 



per i valori positivi di x si potrà scrivere 



,., Sina; 1 f 00 , f 10 sin A ,, 



(4) — =- = — a« — — cos au — x) dX . 

 1/x ™J« Jo t/A 



sin f3? 



Questa formula mostra che alla funzione = —7=- per x > 0 , ed =0 per 



y x 



x = 0, il teorema contenuto nella formula (1) è applicabile. 



Ma il calcolo diretto, che abbiamo qui svolto per valutare l' integrale (2), 

 per quanto facile, non lascia di essere fastidioso, e la (4) mostra che la 

 condizione A) ed anche le condizioni della sig. na Oraziani sono ben lontane 

 dall'essere necessarie. 



(*) V. per esempio il citato libro di Biemann-Weber, voi. I, § 61, in fine. 



