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Io darò una nuova condizione, che pur non essendo ancora tanto più 

 generale delle precedenti da arrecare decisamente nuova luce sull' importante 

 soggetto, estende tuttavia molto il campo delle funzioni alle quali si può 

 applicare la formula (1). 



Supponendo che <p{x) sia una funzione tale da verificare la condizione A), 

 consideriamo la funzione 



(5) ip(x) = (p(x) cos qx , 



dove q denota un parametro arbitrario. Richiamiamo (per esempio dal Rie- 

 rnann- Weber) che la (1) è verificata quando valga la formula preliminare 



J~»CO ✓"•00 

 da ip(l) cos al di = 0 (c > 0) , 

 o % c 



e l'altra analoga fino a — co . 



Nel caso di tp data da (5), il primo membro della (6) diventa 



di 



di 



/-» co s~* co 



da I (f(l) cos ql cos al di 



1 C 00 C 00 1 C 00 /"* °° 



= - c^a <p(A) COS (a -f- e) A <^A = 5 rf« <p(A) cos(a — Q)ldl. 



Se ora operiamo in questi integrali rispettivamente le due sostituzioni 

 p = a-\-g,p=a — q, noi otteniamo 



-i /-"» co y--»co i /"» CO /~» 00 



(8) -J rf/sj 9>(A)cos/?A<U-f- -J d/Sj y>{l) cos pi di . 

 Osservando intanto che è 



dp <f{l) cos pi di = 0 , 



0 c 



perchè <p(a;) verifica la condizione A), ed osservando inoltre che si può scrivere 



J-g /*« ro r™ 



dp tf{l) cos pldl= dp (p{l) cos pi di , 



perchè basta mutare /? in — /? per passare dall' uno all'altro di questi due 

 integrali, noi otteniamo che per la funzione xp data da (5) vale la formula 

 preliminare (6); dunque tale funzione verifica la (1). In questo procedimento, 

 noi, per giustificare la (6), ne abbiamo dedotto la (9); la possibilità evi- 

 dente di eseguire il cammino inverso, scrivendo la (9) e poi passando alla 



