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e di tal termine trasformiamo il fattore 



ir =<j 



A n A r . 2 ... A,, = J_ (— 1)^4^^, ... e» t ... e.M) X 

 i r =i 



X Z (— *i - *r a »■ ^M),.... 7 (— l)°^«(a? ra «l - «fr, - ^ M )« 



V,=l i rg =l 



Poiché le espressioni 



(— If-^xr^ ... e irk ... e a M) {k = 1 , 2 , ... , r/) 

 sono tutte dei numeri, potremo scrivere, ponendo i r = i Tl + ir, -\ — H~ in 



(10) A ri A r , . . . A r , = 2(— l)v-*r U{x rh e, ... ^ ... e,M) e irji , 



dove il 2 è da intendersi esteso a tutti i valori delle i r% , i rt , ... , i rq da 1 = o 

 per ciascuno. Si riconosce subito che tutti i termini di una tal somma, i 

 quali provengono per valori uguali di due delle i u , ?V, , ... , i rq sono nulli, 

 perchè, in tal caso, due almeno dei fattori e iri , e,> 2 , ... , e ir sono eguali, 

 ed altrettanto dicasi nel caso in cui sia q > e, perchè allora, nel prodotto 

 e ? v i 0,> 2 ... e ir uno almeno dei fattori si trova ripetuto. Perciò la prece- 

 dente somma si dovrà intendere estesa soltanto ai termini che si hanno per 

 valori distinti delle i ri , i rt , ... , i rq , e per q non superiore a e; e tali ter- 

 mini sono tanti quante sono le disposizioni, senza ripetizione, della classe q 

 di a elementi. Aggruppiamo queste disposizioni in modo che quelle di ogni 

 gruppo costituiscano una medesima combinazione della classe q ; in ogni 



grappo ve ne saranno q ! e tutti i gruppi saranno in numero di ^ j . In ogni 



termine corrispondente ad uno di questi gruppi ordiniamo i fattori del pro- 

 dotto eu> t 6ir t ... gì in modo che i r , «V, •■• ir q costituiscano la permutazione 

 principale che supporremo rappresentata da s,- t s r . 2 — s rq ; allora, se h è il nu- 

 mero delle inversioni presentate dalla i ri i r „ ... i rq in confronto della s fl s Vì ... s rq , 

 avremo 



e iri e ir2 ...e irq = {—l) h e 6ri é»;... e Srq , 



e tutti i termini corrispondenti al gruppo considerato nel secondo membro 

 della (10) saranno quelli contenuti nella somma 



H = (— l)* a ^r.2(— l) h {x ri e 1 ... ... e 0 M) \x u e., ... e ira ... e a M) ... 



ove h ha il significato indicato e varia da termine a termine. 



