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 è chiaro che la cercata funzione è 



rio) 



^£k{x)dx.j^{y)dy^ 



Orbene la soluzione della (4) annullatesi per x = x 0 e per y = y 0 è 

 data da 



(5) u(x , y) =£dajjG(a , /?) J«>^2 |^ f \(x) dx • J^B(y) d§ 



come ora proveremo. 



A quest'uopo si osservi che se si ha la funzione 



v(x , y) = Cda PG(« ,p)0(x t y,a,P)dp , 



ove 6(x , y , a , /5) e funzione continua rispetto ai quattro argomenti che con- 

 tiene, si ha applicando la derivazione sotto il segno 



(6) 



J3 



"òse 



Ty =1 H G(a ' *F* + 1 G( " ' y) da + 



+ pG(x,|?) ^ (a? ^ ta?,/y) d/> + G(a;,y) , y , g , y) 



formula che si riduce a 



se si ammette che 6 prenda il valore 1 quando x = a per qualsivoglia y, 

 e quando y — fi per qualsivoglia x . 



La' funzione J <0) ^2 Pjp A(cc) drc . B(y) si comporta come la 0, 



sia per la continuità, che per i valori che essa assume per x = a e per 

 y = p ; di più soddisfa alla (4') onde 



^ + A(x)B(y)u=G(x,y) 



come si doveva provare ; d'altra parte poi u si annulla per x = x 0 e per 

 P = Vo- 

 ti. Si abbia l'equazione 



(7) si + A « 5 + B <*> g + c <^> « + D <* •») - 0 



ove si suppone 



(8) C(s,y)-À(y)B(.r) + H(ff)K(y). 



