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la (10) diviene 



(12) + ai ^ n ~ l ^ n ~ l + " 2 Tx^v^ + "' + anU = K{x ,9) 



e la u deve soddisfare alle condizioni 



(13) (^) =0 ; Q£) =0 (r=0,l,...,n-l). 



\ oX Jx^xq \ /y=y<> 



Risolviamo prima il problema di determinare la soluzione dell'equazione 



(14) + ai -»,r> + a > ^«- 2 + "' + anU = 0 



soddisfacente alle condizioni 



(15) y£|s~M m (m = 0, 1,2, ...,*-!) 



per x = a e per = i M m essendo numeri prefìssati ('). 



È facile verificare che J (o) (2|/0(:e — a) (y — /?)) soddisfa all'equazione 

 (14) se 6 soddisfa all'equazione 



(16) (— l) n 6 n -f (— l)"- 1 M"" 1 -| a n .,e + «„ = 0. 



re 



Supposte le radici 0 r tutte diverse, la funzione ^_k r u r ove si pone 

 Wr = j<o)(2 ye r (x — a) (y — fl) 

 soddisfa alla (14) e poiché 



soddisferà anche alle condizioni (15) se i nnmeri A r sono scelti in modo 

 da soddisfare al sistema normale 



(17) A^ + A^H \-k n tì s n = (— l)«M 4 (s = 0,l — 1). 



Se l'equazione (16) ha radici multiple, il sistema (17) non è normale 

 ed allora bisogna procedere in altro modo. 



Sia d x = 0 2 = ••• = d p e 0 r =%=6 p per r^>p. Intanto si ha identica- 

 mente 



(18) + * ^ ^ + a * ~òx n ~ 2 ^ + - + anU = ^ U 

 "(') È ovvio osservare che non sono le solite condizioni di Cauchy. 



