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avendo posto u = J io \2\/0(oc — a)(y — §)) e indicando con F(0) il primo 

 membro della (16). 



Se deriviamo la (18) sispetto a 6 una volta, poi una seconda volta e 

 così di seguito fino a p — 1 volte si ottengono p — 1 equazioni che sono 

 soddisfatte se 6 è la radice d'ordine di multiplicità p della (16), giacché 

 i secondi membri contengono linearmente la F e le derivate successive che 

 saranno nulle per la nota proprietà delle radici multiple. Ciò fa vedere che 

 saranno soluzioni della (14) le p funzioni 



u, = J«»(2l/0(*-«) (?/-/?)) , %= % 



(19) d6 



_ d 2 Uj _ dv- l u x 



insieme con le u p+x , u p+2 , ... , u„ del caso precedente. Allora se si prendono 

 i numeri A soddisfacenti al sistema normale ( : ) 



A. B s , 0 e\ + A^.ar 1 + A 3 D Si2 er 2 H f- A p D,,,., e*-*»- 1 + 



+ A p+ì d s p+l + k p+t 6 s p+ì -1 1- A„0; = (- 1) S M S 



(s = Q, 1 , ... , n — 1), 



dove di innalzato ad esponente negativo dev'essere rimpiazzato dallo zero e 

 dove si indica con D s , r il prodotto di r fattori decrescenti a cominciare da s, 



la ^_ k r u r è la soluzione della (14) che soddisfa alle condizioni (15). 



r=l 



Osserviamo che nelle (19) le funzioni u 2 , u 3 , ... , u p possono esprimersi 

 per [le funzioni di Bessel di ordine superiore allo zero dell'argomento 

 2f / 6 l (x — a) (ce — /S), mediante le formule note della teoria delle funzioni 

 cilindriche : 



^tì — jui( f ) ; ^^ = I[j<«- 1)( , ) _jc-n ( , )] p er «>0. 



Si sia ora determinata la soluzione U((cc — a) (y — §)) di (14) soddi- 

 sfacente alle condizioni 



per ce = a e per y = /? . Allora la funzione 



(21) U = f*da C J K(a , 0) JJ((X — a) (y — /?)) d§ 



soddisfa all'equazione (2) e alle condizioni ai limiti (13). 



(*) La normalità del sistema risulta dallo sviluppo del determinante dei coefficienti 

 che io ho dato nella Nota Un determinante affine a quello di Wandermonde: Atti del 

 R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, dicembre 1905. 



