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Per veder ciò, basta osservare che per le formule (6) e (20) si ha 



—z=\ da) K(a,p) b fc dS (k = 1 , 2 , ... 



= \ da \ K (a , /?) — rf/J + K(a5 , w) 



~òx n ~òy n Joc 0 Jy t ' ~òx n ^r y J ' 



e sostituire nella (12). 



5. È facile vedere che il sistema 



(22) — + a rl z-\- a rì S2 -j (- a r „ z n = x r (a; , y) (r = 1 , 2 , ... , n) 



dx ùy 



si può ricondurre a successive integrazioni di equazioni del tipo (12). 



Anche sistemi di ordine più elevato possono, con opportune sostituzioni, 

 trasformarsi in sistemi del secondo ordine di un maggior numero di equa- 

 zioni del tipo (22); epperò essi pure saranno integrabili per mezzo delle 

 funzioni di Bessel. 



6. Diamo alcune relazioni funzionali a cui soddisfa la funzione J (0) (uv) 

 deducendole da risultati ottenuti nei paragrafi precedenti. 



Se è data l'equazione 



li 2 2 



(23) — — 4- xyz + sen (x . y) = 0 



l' integrale che assume sugli assi il valore 1 è, giusta la formula (5) , 



2 = 1— Ida j J [a§ -f sen (« . 0)] 3 l01 (y{x 2 — a 2 ) (y* — (3*)) dp. 

 J 0 -J 0 



Ma, d'altra parte, soddisfa all'equazione anche la funzione cos(x.y) ed essa 

 pure si riduce ad 1 sugli assi, onde possiamo asserire che 



cos 



{x.y) = \— )da ([«/? + sen (a . /S)] J (0) (|/(:r* — a 2 ) (y 2 — p 2 )) dp 



J a J o 



poiché unica è la soluzione della (23) che assume sugli assi valori prefissati. 

 Questa relazione può anche essere scritta : 



cos (* . ,) = J<o-(, . ,) - P„ du P 3^u.v)vdv. 

 J o y {x~ — u 2 ) (y 2 — v 2 ) 



Con procedimento analogo si trova: 



/ \ f* , C v ws\/(x 2 — u 2 )(y 2 — v 2 ) T , nw . , 

 sen(z.?/)= u du — ' * v ) v dv 



J. V (Ufi— «2) (i/2 — V 3) 



*u du f y . 6 J«»(* uv) v dv . 



Jo _ u 2 ) (y 2 — v 2 ) 



Kendiconti. 1909, Voi. XVIII, 2° sem. 71 



