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Ora voglio far notare che oltre le funzioni cui ho accennato è rappre- 

 sentabile con la stessa formula suindicata il prodotto di ogni funzione ip(X) 

 monotona per una funzione oscillante (per es. cos gX) che sia indipendente 

 dalla variabile d'integrazione a. Si ha cioè 



da xp(X) cos gl cos uX dX = 0, 



0 J a 



e questo basta, come è noto ( x ) per ritenere stabilita la formula integrale 

 di Fourier. 



Il dott. Orlando ha dimostrato ( 2 ) la stessa proprietà ; ma siccome egli 

 ha seguito un procedimento diverso da quello da me tenuto, non credo del 

 tutto inutile questo mio lavoro, che viene a confermare la verità delle rela- 

 zioni già trovate dal dott. Orlando. 



Consideriamo dunque la funzione 



ip(X) cos gX cos aX 



dX 



Si dimostra facilmente ( 3 ) che essa è una funzione continua di a > g , 

 a < — g , quando tp(X) sia monotòna e tenda a zero per X = oo , e perciò 

 è integrabile fra i due numeri positivi (i e v. Vediamo il limite di 



! da \ ip(X) cos gX cos aX dX per rj = co . 



Scriviamo : 



da tp(X) cos qX cos aX dX = 



V- t 



= I ' da ! ìp(X) cos gX cos aX dX -j- f da f ìp(X) cos gX cos aX dX 



per escludere i punti a = g ; a = — g . 



Questa espressione è uguale alla seguente: 



1 pp-e 1 rp-s r vi 



da J V'W cos(« + ?) ^ ^ + g J da J *P{ty cos ( a — g)XdX-{- 



+ \ f <*« f V'W cos(a + ? ) X di -f- J f da f cos(« — g)XdX, 



(*) Nota del dott. L. Orlando, pubblicata nel voi. XVII di questi Eendiconti (ser. 5% 

 2° serri., fase. 8°). 



(•) Nuove osservazioni sulla formula integrale di Fourier, Eendiconti della R. Ac- 

 cademia dei Lincei, voi. XVIII, serie 5 a , 2° sem. fase. 9°. 



Xoo 

 xp(l)cosaXdX 



nella Nota pubblicata nel voi. XVII, ser. 5 a , 2° sem., fase. 8° di questi Eendiconti. 



