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les solutions de l'équation différentielle du 2 e ordre: ~rh — k<f(x)y, où 



de plus (pi(x) x=a == 0 . 



La généralisatioo de la méthode de M. Picard, basée sur un théorème 

 de convergence de M. Schmidt, peut se faire cornine il suit : 



D'après Schmidt on a la serie absohmient et uniformément convergente: 



(2) X f "*»(*) ds f V(a') ®»(%) dx . 



« \ v. f ^ , v _ , , , 0 si m 4= « 



ou est continue et <E> m (;r) <P„(aO cu- = „ . 



r J a ' 1 si n = 1 . 



Posons ici 



SP^) = I ® n (z) ds\ c. à. d. g£ (so) = O n {x) et y{x) = f"(x). 



J 0. 



Alors (2) s'écrit: 



(3) £9>'n(x) CrWytWdx. 



n J a 



Je dis que (3) réprésente f\x) si les conditions, qui vont étre énoncées, 

 sont vérifìés. En effet multiplions les deux parties de (4) par <p',','(x) et in- 

 tégrons entre a et b : 



(4) f'{x) - >_ <p' n (x) Cf'(x) & = F(a>) . 



On obtient: 



[\{x)<p%(x)dx= \ b f{x)<p%(x)dx—J_ r<Pn(z)<PmdX C f" (x) (p^x) d.Z 



Or: 



?f\x) g>£(x) dx = | f'(x) <pl(x) l - ( b f"{x) y>l(x) dx = - 



J a <J a 



— f f"(x) (fm(x) dx si f\x) = 0 pour X a , 



et 



SP«(«) 5Pm («) ^ = | 5P»(») 9»^) la — <Pm Ax = Q SÌ i W ' 



car g>„(a?) = 0 pour x . 



{ 1 SÌ 7?2 — ~ ^2 : 

 SP«(a5) 9> n (a?) = 0 si m ^ n ' 



comme on le sait (Rg. thèse, Davidouglou). 



