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Donc on a 



fV)C(*)^ = - { b f"(x)<p';{x)dx+ rf"(x)cp':(x)dx = 0; 



donc de Tégalité: 



Cv{x) (p"'(x) dx = 0 (pour n = 1,2,... co) 



-'■a 



on tire, que ¥(as) = 0 , si le système <p'n{x) est ferme ; la possibilité du 

 développement de f'(x) suivant les <p' n (x) sera donc démontré, moyennant 

 toutes les conditions mentionnées. On a donc la serie: 



2>»(à { b f"{x)<p'n{x)dx, 



n J a 



dont les termes sont fonctions de x finies et intégrables entre a et b, et 

 qui est uniformement convergente dans l' intervalle ab ; alors sa somme, que 

 nous avons démontrée tout à l'heure ètre f'(x), sera intégrable entre a et b, 

 et la serie 



J_ r<p' n {x) dx f b f"{x) <p:;(x) dx=J <p n {x) j /''(■*) g>'fo) dx 



(car (f n (a) = 0) , sera uniformement convergente entre a et b et aura poni- 

 la somme 



f\x)dx = f{x) 



'a 



(Dini, Calcolo integrale, pp. 143-145). Donc on a le 



Théoreme : Toute fonction continue, s'annulant pour x = a et x == b j 

 c. à. d. telle que f{d) = /(è) = 0 se développe en serie absolument et uni- 

 formement convergente des fonctions <p n {x) entre a et b, pourvu que: 1°) la 

 l re et la 2 e de'rivée de f{x) c. à. d. /'(*) et f"(x) soient continues ; 2°) f\a) == 

 = f(b) = 0 ainsi que g> n {a) = <p n {b) = 0; <p' n (a) = <p' n {b) = 0 quelque 

 ce soit n ; 3°) la suite de <p"(x) est ortogonale et normale c. à. d. 



C b ", \ »< \ a 1 si m = n . 

 J a SP» <*) 9»^) da; = o si i» =|= n ' 



4°) la suite de <p'"{x) forme un système ferme. 



Or il est aisé de voir, que les fonctions (p»(x) intervenants dans le 



problème en question, c. à. d. telles que — = kg> n (x) <p (x) , vérifient 



les conditions du théoreme précédent; en effet: 



