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1°) L'existence éffective des valeurs singulières k„ h été établie aux 

 conditions : </>„(«) = (p n (b) = 0 ; $p,' (#) = <p' n {b) = 0. 

 2°) L'integration par parties donne: 



b i b 



<Pn(x) <f'm(x) dX = | <p' n (x) (f'n(0C) dx \ a ~ 



— SPn(«) 9m{x) dx = — \ (p„(x) (f',n(x) dx\ a -\- I g> n (x) (f^{x) dx = 



<y a J a, 



donc le 2°) du théoréme précédent est rempli. 



3°) En suivant le chemin, trace par M. Picard (dans le cas de l'équa- 



d?"u 



tion = k(f(x) y) , on démontrera, que les conditions 



(X oc 



I 



b ~E(x) <p'"{x) dx = 0 {a = 1,2 ... oo) , 



dans le cas de l'existence éffective de la fonction F(cc), intégrable entre a 

 et b (comme elle est dans notre cas cette fonction F(cc)), aboutissent à une 

 contradiction. En effet, on a: 



Cf(x) <p';'(x) dx = P-^ f f\x) dx~] gC(cc) dx = 



J a a UX | J a ) 



= j f *F(x) dx\ tp„{x) f — P \ r~F(x) dx ì q^{x) dx = 



= f Xff(x) (f n {x) dX. 



J a 



Donc tout révient à démontrer que le systéme de <p n {x) est ferme; c. à. d. 



(5) f V«0 <fn{x) dx = 0 



J a 



pour n = 1 , 2 ... co entraìne ~F(x) = 0. 



Supposons le contraire et envisageons l'équation: 



(6) ^i = k<p{x)y + ¥{x); 



alors les conditions (5) entraìnent (Davidouglou, Thèse, pp. 39-40) que l'in- 

 tégrale y{x) de (6), qui touch e OX aux points a et b, n'a pas de póles, 

 c. à. d. réprésente une fonction entière, dont le rayon de convergence est in- 

 fini; d'autre part on peut étudier le cercle de convergence de 



(7) + M M 0«+- 



U f 6 



par la considération du rapport — — où U„= y 0 (x) y n {x) g>(x) dx . La 



