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présence de F(x) ne modifie pas l'éssence du raisonnernent; on substitue (7) 

 dans (6) et en égalant les coéficients de diverses puissances de X on obtienl : 



d 4 yo -pi . v d 4 y l . . 



avec les conditions: 



Vn{a) = y n {b) = 0 ; y' n {a) = y' n {b) = 0 . 



Alors la serie 



<P(k)= f 5p(aj)y 0 )y 0 - A„y n + - f (te = U 0 -f TU + -U )? ^+- 



où toutes les U„ sont positives et telles que 



donne (Davidouglou, Ibicl., pag. 73) y- = lim F" , où Ai = rayon de Gon- 

 zi; i L)«_i 



vergence de (7). 



Donc on arrive à une contradiction, carF(cc), n'étant pas identiquenaent 

 nul, y 0 n'est pas = 0, ainsi que toutes les y n consécutives. Donc toutes les 



TJ„ sont > 0 et les rapports sont des Dombres déterarinés ; la limite 



de P" pour n = co existe et est > 0. D'autre part, cette limite, étant égale 

 <J«-i 



à l'inverse du rayon de conyergence de la sèrie (7) (qui est entière), devrait 

 étre égale à zero, et cela ne se peut. Donc le tbéorème est démontré. La 

 méthode précédente a l'avantage, d'après ce qu'il parait, de n'exiger d'autre 

 restrictions, imposées à la fonction continue, dont il s'agit à développer, 



que la continuità de ses deux premières dérivées ( 1 ). 



(') En corrigeant les épreuves, j'ai appris de M. Piccone, qu'il va publier dans les 

 « Annales de l'Ecole Normale de Pise » un travail où il arrive par une voie toute différente 

 (basée sur la th. des équations intégrales) au méme résultat. 



