(56) 



-Jj V F(U) (U dy + J j UG(V) dx dy = j'hds, 



e varrà qualunque siano le funzioni U , V , a , b 

 (il contorno incl 



purché regolari in tutto C 



e in L al posto di — e — potremo sempre quando si 



voglia sostituire — — , e — . 

 * ~ò$ 7)S 



Questa, quando si supponga che U sia un integrale della equazione 



F(U) = 0 , ritorna la (52) pel caso di h — g 0 = 0 ; più generalmente poi, se si 



suppone che U sia un integrale regolare entro C della equazione generale 



del second' ordine : 



* ( a? , v , U, — , — , — r , , — r 1 = 0, 



V " ~òx ~òy i>x 2 ~òx ìy ìy 2 J 



qualsiasi, di x , y , U , ^ 



la stessa 



con <J) funzione, regolare al solito 



(56) darà luogo all' altra : 



(57) ~jf Y \ F ( u > — * \ d * d y+ jj UG ( V ) dx d V =j L ds - 



che varrà per ogni integrale U della equazione precedente <I> = 0 regolare 

 entro C; e se la funzione V che qui figura oltre essere regolare anch'essa 

 entro C (il contorno inclus.) non sarà zero in nessuna porzione superficiale 

 per quanto piccola di C, allora inversamente « ogni funzione U regolare in C 

 « (il cont. inclus.) che soddisfi a questa equazione (57) per qualunque por- 

 « zione anche arbitrariamente piccola di C sarà un integrale della equa- 

 « zione <2> = 0 » . 



Avendosi infatti la (56) e la (57) insieme, ne verrà sempre l'altra 



I Y0dx dy= 0 per qualunque porzione c x , comunque piccola, diC, e se M(^ x , y{), 



sarà un punto qualunque interno a C o sul contorno, in esso per quel valore 

 di U dovrà essere <P = 0 , altrimenti se in quel punto fosse <P = l . con / 

 diverso da zero, a causa della continuità esisterebbe un intorno c di M nel quale 

 <P sarebbe diverso da zero e del medesimo segno di A, e allora se V in il non 

 fosse zero prendendo in c un altro intorno c t sufficientemente piccolo di M , il 

 prodotto V<£> in tutto c x sarebbe diverso da zero e dello stesso segno, e l'equa- 

 zione JjY<Pdxdy = Q non sarebbe soddisfatta. E se V in M fosse zero. 



o 



in alcuni punti mi , m 2 ... di c comunque vicini ad M, nè V nè X sarebbero 



