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zero perchè V non è zero in nessuna porzione superficiale di C , e allora col 



non sussisterebbe per intorni sufficientemente piccoli dei punti m x ,m z , ... 

 contenuti in c . 



Segue da ciò evidentemente che scrivendo la forinola: 



dove G(V) e L sono dati dalle (50) e (54) o (55), si può affermare che 

 questa forinola varrà sia per qualsiasi funzione U regolare entro C (il con- 

 torno inclus.) , sia soltanto per gì' integrali U della equazione <2> — 0 regolari essi 

 pure entro C (il cont. ind.), secondochè sarà P(U) = F(U) , o P(U) — F(U) — <2>, 

 e lo stesso naturalmente avverrà delle forinole che si dedurranno da queste; 

 e così avremo forinole che corrisponderanno a proprietà degli integrali delle 

 equazioni a derivate parziali di second' ordine <P = 0 , e anche varranno per 

 la integrazione di questa almeno in casi speciali ; e ciò sia partendo da un 

 contorno s dato qualsiasi, sia partendo da contorni speciali che vengano scelti 

 convenientemente in dipendenza della equazione stessa che si considera <P = 0. 



20. Ciò premesso, senza presupporre nulla ora rispetto al contorno s di C, 

 indichiamo con M(xi , y x ) un punto qualsiasi interno a C , e supponiamo 

 che V sia una funzione sempre regolare in C, fuori che nel punto (x x , y x ) dove 

 ammetteremo che abbia una singolarità proveniente dalla presenza di un 

 termine logaritmico log cp , essendo <p una funzióne regolare in ogni intorno 

 del punto M e zero in questo punto. 



La forinola (58) non sarà allora applicabile altro che quando si escluda 

 il punto M con un piccolo campo c di forma qualsiasi il cui contorno sia Si 

 e non passi per M , e quindi perchè sia valida dovremo intendere che l'inte- 

 grale doppio del primo membro sia esteso al campo C — c , e che da quello 

 semplice del secondo membro ne sia tolto uno simile esteso al contorno s t 

 di c percorso nel senso diretto, e colle normali volte allora verso l' interno 

 di c , per modo che si avrà ora : 



ragionamento precedente si troverebbe 



(58) 



(59) 



L dsi . 



C— C S 



Supponendo ora che nell' intorno di C si abbia : 



V = A log <p + B , 

 con A, B, <p funzioni regolari nell' intorno stesso, sarà : 



= A » w log y -f- 2 A'* — -f- A + BV ■ 



