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e sarà zero sempre quando lo sia A t ; dunque si può ora evidentemente con- 

 cludere che « se essendo M (x x , y x ) un punto interno a C si prende : 



(60) V = A log (f + B , 



« dove A, e B sono funzioni regolari qualsiansi entro C (il contorno incl.) 

 « e <f è anch"essa regolare in C, e oltre a ciò si annulla nel punto M, e 

 « nell' intorno di M si può scomporre in una somma di gruppi y n , <p n + , , ... 

 « di termini omogenei dei gradi n , n -f- 1 , ... in x — X\ , y — yi , il primo 

 « dei quali y„ è una forma definita di grado n > 2 e tale che per esso 



;;; ha - fll ^ +4 ^ + ^= 0 , 



« allora si avrà la forinola seguente : 



(62) kiTI A Znn^+f^ [*i ((# — 2/0 + — *0 ^f) + 



+ - - yi) ^f] ^| = - J / juG(V) - VP(U)j dx dy + fhdt , 



u dove L è dato dalle (54) o (55), e A x , U 1 , «i , b x , Ci sono i valori di 

 « A, U. a, b, e nel punto M (xi , y x ), e la funzione P (U) corrisponde, secondo 

 « i casi, a F(U) o a F(U) — <P » . 



« E se la funzione A si annullerà nel punto M, allora non vi sarà 

 « Disogno di porre per <p n la condizione di soddisfare alla equazione (61). 

 « e la formola precedente sussisterà ancora, ma si ridurrà alla (58) stessa, 

 « la quale resta così dimostrata anche nel caso in cui V in un punto 

 « M (xi , y x ) interno a C abbia una singolarità logaritmica tale che la stessa 

 « funzione V si possa porre sotto la forma (60) con A funzione regolare 

 « che si annulla nel punto stesso M ». 



Questa formola (62) quando i coefficienti di Ui nel primo membro sono 

 diversi da zero, darà il valore della funzione U nel punto M (x x , y x ) espresso 

 per gli elementi che figurano nel secondo membro, e varrà per qualsiasi 

 funzione U regolare entro C se vi sarà posto P (U) = F (U), mentre varrà 

 soltanto per gli integrali regolari della equazione: 



(63) <Z> ( x , y , U, — , — , — - , , — - 1 = 0, 



v ' \ u ' ' ìx Dy ìx 2 ' T># ìy 'V / 



se vi sarà posto P (U) = F(U) — <P. In ogni modo esprimerà una proprietà di 

 qualsiasi funzione U regolare in C o degli integrali regolari della (63), e 

 varrà ad esprimere queste quantità per quelli fra i loro elementi che siano 

 dati al contorno quando, profittando delle funzioni indeterminate che vi fi- 

 gurano o della arbitrarietà che si ha nel contorno, si potrà fare in modo 

 che non vi restino altro che gli elementi dati stessi ; e noi tenendo conto 

 appunto di questo, faremo poi di quella formola interessanti applicazioni. 



