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21. Il punto M(^! da noi considerato finora era supposto interno 

 al campo C. Se esso invece è sul contorno, occorrono considerazioni che dif- 

 feriscono leggermente dalle precedenti. 



In questo caso potremo intendere escluso lo stesso punto M togliendo 

 da C un campo c piccolo ad arbitrio limitato da due porzioni piccolissime 

 fi , £ 2 di s dalle due parti di M e da una curva Si interna a C pure piccolis- 

 sima ; e invece della forinola (59) avremo l' altra : 



(64) jf j UG(V) — VP(U)j dx dy = jL ds + j L ds . 



C—C s— Sj s t 



Ora prendendo ancora V sotto la forma (60) con y> = y> n -j- <p n + x -f- ... , e 

 n >. 1 , non importerà più porre la condizione che cp n nelle vicinanze di M non si 

 annulli in nessun punto fuori che in M , ma solo basterà richiedere che, fuori 

 che in questo punto M , essa non si annulli in nessun altro punto interno di c, 



ne sul contorno, per modo che in tutto c il ^ sia sempre discosto da zero 



più di un certo numero ; in altri termini non verrà ora escluso che (p n possa 

 annullarsi anche nelle vicinanze di M ma fuori del campo c , e potrà quindi 

 essere anche » = 1. 



Con queste condizioni però e coli' altra data dalla (61), ma questa però 

 pel caso soltanto che A non sia zero nel punto M, basterà ripetere i ragio- 

 namenti fatti pel caso precedente per vedere subito che all' integrale doppio 

 del primo membro della formola (66) potremo ancora sostituire quello esteso 

 a C all' infuori di quantità arbitrariamente piccole, e s^ potrà supporsi circo- 

 lare senz' altro. 



Ciò supposto, se s' indica con Q x X angolo che la tangente a M nella dire- 

 zione degli archi s decrescenti (raggio iniziale di Si) fa coli' asse della x , e con 

 0! — y quello della tangente dall' altra parte di M (raggio finale di sO, 

 per modo che y venga ad essere 1' angolo delle due direzioni delle tangenti 

 al contorno in M fra le quali cade il campo C , coi ragionamenti stessi del 

 paragrafo precedente si vedrà subito che se in M la funzione A sarà zero, 

 l' integrale I L ds tenderà a zero certamente coli' impiccolire di Sj , e F in- 



r 



tegrale | L ds tenderà verso 1' altro I L ds il quale verrà così ad avere un 



significato; mentre, se A non sarà zero in M , o, il che è lo stesso, se A! 

 non sarà zero, la parte dell' integrale L dsi che giova di considerare si 

 ridurrà alla seguente: 



A, | n ya x - j^ y {{y - yO ^+_(*- *i) ^) + 



