— 13 — 



o dipendentemente da <p n quando si abbiano le altre : 



sulle tangenti al contorno dalle due parti di M, o più generalmente quando, 

 si abbia la equazione : 



in piccole porzioni del contorno dalle due parti di M. 



22. Nelle forinole dei due paragrafi precedenti avendo voluto conservare 

 la maggiore generalità possibile nelle funzioni U e V, compatibilmente colle 

 condizioni speciali che si avevano per esse, è stato poi necessario introdurre 

 altre condizioni per ottenere le formole (62) o (65). 



Se noi però ammettiamo che V, pure avendo una singolarità nel punto 

 M(#i, yi) che supporremo p. es. interno al campo C, in tutto il rimanente del 

 campo soddisfi alla solita condizione di essere regolare ecc., e inoltre sia un 

 integrale della equazione aggiunta G(V) = 0 della F(U) = 0, allora avremo 

 sempre la forinola (59), ma nell'integrale doppio del primo membro man- 

 cherà senz'altro il termine UG(V) che era quello appunto che portava le 



difficoltà, e si vedrà subito che l' integrale rimanente Jj VP(U)cfo; dy coli' im- 

 piccolire del campo c tenderà verso l'integrale jj VP(U)efo? dy se l'ordine 



d' infinito di V nel punto M per l' introduzione delle solite coordinate polari 



non risulterà superiore a quello di , dove r (q) diviene infinitesimo 



con q ; e sotto la stessa condizione prendendo ancora s x circolare si troverà 



che nell' integrale ^ Ldsi del secondo membro tenderà a zero la parte che 



non contiene la derivata di V. 

 Se poi la quantità: 



(66) *&-vù}ì£ 



col tendere del punto {%, y) verso il punto M avrà un limite determinato e 



finito «o, allora l' altra parte di £ Ldsi tenderà verso 2Tta 0 JJ 1 ; quindi si 



può anche evidentemente affermare che « se, senza richiedere ora che V sia 

 « della forma (60), si saprà che essa è un integrale della equazione ag- 

 « giunta Gr(V) = 0 della F(U) = 0 che, pure avendo una singolarità nel punto 

 « M(^! , y x ) interno a C, ivi colla introduzione delle coordinate polari (q, 6) 



