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«risulterà di un ordine d'infinito non superiore a quello di ,dovex(^) 



« diviene infinitesimo con o; e se la quantità (66) avvicinandosi il punto 

 « y) in qualsiasi modo al punto M ha un limite determinato e finito a 0ì 

 « avremo la forinola: 



« che corrisponde alla (62) pel caso appunto di G(V) = 0, e nella quale U 

 « sarà ancora una funzione regolare qualsiasi in U se P(U) = F(U), e sarà 

 « un integrale della equazione (63) se P(U) = F(U) — <Z> ». 



Una estensione simile della formola (65), sempre pel caso di G(V) = 0, 

 si avrebbe anche se il punto M fosse sul contorno di C. 



23. Si comprende come tutte queste forinole, a causa della arbitrarietà 

 delle funzioni a, b, c ... , e V o A, B, e <p che vi figurano, e anche di U 

 quando non vi è la condizione che sia un integrale della equazione <1> = 0, 

 come a causa della arbitrarietà del contorno, daranno luogo a formole svaria- 

 tissime. 



Lasciando ad es. , qualsiasi il contorno, e sempre intendendo che per 

 le funzioni che si considerano siano soddisfatte le condizioni generali prece- 

 denti, cioè di essere regolari in C, ecc. ... , potremo dare avanti ad arbitrio la 

 funzione U supponendo P(U) = F(U), e potremo poi prendere come meglio 

 vorremo la funzione V o le tre A, B, y e il polinomio F(U), determinando in cor- 

 rispondenza il suo aggiunto G(V) ; come senza dare avanti U, o dando soltanto 

 1' equazione <P = 0 cui dovrà soddisfare U nel caso di P (U) = F (U) — £> , 

 potremo scegliere V, o A, B, e cp in modo da soddisfare a date condizioni, 

 p. es. : al contorno ; e così otterremo altre formole particolari che potranno 

 talvolta essere utili. 



Invece potremo anche scegliere avanti il contorno s di C in modo speciale, 

 e lasciare ancora tutte le altre quantità indeterminate o prenderle nel modo 

 che più troveremo conveniente ; o infine, volendo, potremo prendere il contorno 

 non più arbitrariamente ma in modo che su esso siano soddisfatte certe condi- 

 zioni speciali in dipendenza delle funzioni U o V, o in relazione ai coefficienti 

 a,b,c... del polinomio scelto F(TJ) , per modo ad es: che i coefficienti 



a IH? i ^ h _i_ c _ c fi e figurano nei valori (54) o (55) di L, sul 



contorno al quale si riferiscono ^ , e ^ abbiano particolarità speciali date. 



24. Ci tratterremo poi sui casi nei quali si hanno date condizioni nel- 

 l'interno del campo C o al contorno per le funzioni che figurano nelle nostre 

 formole. Per ora conserveremo tutta la generalità che si aveva nei paragrafi pre- 

 cedenti per le funzioni stesse, e tratteremo alcuni casi di contorni particolari. 



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