— n; 



Ora, evidentemente, quando sul contorno non sia dx — 0, o dy = 0, i 

 primi duo termini dei moltiplicatori di V in queste espressioni di Lds pos- 

 sono scriversi respettivamente : 



„ à£lH , , f ise o; \"SU, t dy 0 ,\ìU , . dx . 



— a -, — dx-\-\c — — 2/y) — , — \a-r-—2ò\ — dx-\-c dy: 



dx~òx 1 \ ìy /ì| \ flte / òx ~ dyl>y y ' 



quindi se le linee del contorno potranno essere scelte in modo che 



per esse 



siano sempre uguali fra loro i coefficienti di — dx e — dy nella prima o 



~òx ~òy 



nella soconda di queste espressioni, allora ponendo pel primo caso —--'A,. 



**y 



(73) 



e pel secondo — — = -=- , avremo su alcune delle linee del contorno: 



oX A 2 



L ds = V(b — aXi) dU + UG 3 (V) rfs , 

 e sulle altre: 

 fLè = V(a 2 — b) d\J + UG 3 (V) rfs . 



con — a = — — 2b , c^=4 — y — J— 2 ^ ; per modo che 2) e^- saranno 

 le due radici della equazione di 2° grado: 



a A 2 — 2* A + cÀ = 0. 

 Ne segue che le linee del contorno faranno parte del sistema di linee: 



a dy 2 — 2b dx dy -f- c dx 2 = 0 , 



che sono le caratteristiche delle equazioni a derivate parziali F(U) = 0, o 

 G(V) = 0; dunque evidentemente dovremo limitarci al caso in cui queste 

 caratteristiche sono reali, ciò che richiederà che a , b , c siano scelte in modo 

 che si abbia ac — b* <C 0 , se si vorrà che le linee stesse (A x ) e (A 2 ), oltre 

 essere reali, siano anche distinte fra loro. 



Questi risultati poi varranno anche sulle porzioni del contorno per le quali 

 si abbia dx = 0 (A 2 = 0). o dy = 0 (^ = 0), purché sulle porzioni stesse 

 corrispondenti sia contemporaneamente a = 0 , o c — 0 , senza di che per 

 quelle porzioni per le quali fosse dx = 0 si avrebbe invece : 



L ds 



bY dJJ — a ^ dy + UG 3 (V) ds , 



oX 



e per quelle per le quali fosse dy = 0 si avrebbe : 



L ds = bY dXJ 4- e — dx + UG 3 (V) ds . 



1 ~òy 



Ciò premesso, si supponga che le dette caratteristiche siano appunto reali 

 e differenti, almeno in una porzione del campo C che si considera, e si prenda 



