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Matematica. — Le superficie algebriche di genere lineare 

 p w — 2. Nota di Federigo Enriques, presentata dal Socio Cre- 

 mona. 



1. Il sig. Noether ha introdotto nella teoria delle superficie algebriche 

 due caratteri fondamentali, che ultimamente hanno ricevuto una opportuna 

 estensione: sono il genere superficiale p (già considerato dal Clebsch) ed il 

 genere lineare p w . 



È noto come questi caratteri si definiscano. 



Data una superficie F, d'un certo ordine n (in S 3 ), si considerino le 

 superficie d' ordine n — 4 , 9> n _ 4 , ad essa aggiunte, le quali segano su F 

 (all' infuori delle curve multiple e di certe curve eccezionali trasformabili in 

 punti semplici) le curve canoniche di F: p e p a) sono rispettivamente il 

 numero delle </>„_ 4 (o delle curve canoniche) linearmente indipendenti, ed il 

 genere delle dette curve canoniche. 



Neil' ipotesi che si considera come più generale, delle superficie regolari, 

 il genere p si può valutare mediante le formule di postulazione del sig. 

 Noether, estese ormai al caso in cui F abbia singolarità qualunque: si ha 

 così ad ogni modo la definizione aritmetica di un carattere invariantivo della 

 superficie, che si designa con p n e si chiama genere numerico, in opposi- 

 zione al carattere precedente p o p g detto genere geometrico. Si preferisce 

 usare semplicemente la lettera p e il nome * genere (superficiale) » quando, 

 come si suppone nel seguito, p g =p n - 



Quanto al genere lineare p (l) (genere delle curve canoniche -p^>Q) si 

 deve notare che si possono avere anche qui diverse definizioni nel caso in 

 cui le curve canoniche sieno riducibili : noi intenderemo sempre che p {U sia 

 il genere virtuale delle curve canoniche, comunque composte. 



Il sig. Noether ha stabilito la disuguaglianza 



f»>2p — 3 



che vale sempre (come è facile vedere) comunque le curve canoniche sieno 

 riducibili, purché sia p a) > 1. Invece non si ha alcuna disuguaglianza analoga 

 che fissi un massimo di p w dato p. 



Perciò, quando si voglia procedere ad una classificazione effettiva delle 

 superficie secondo i loro caratteri, converrà ordinare la classificazione secondo 

 i valori del p a) , e cominciare dai valori più bassi che iljp U) può ricevere. 



Ma il valore p (1) — 1 è sotto molti rispetti eccezionale e dà luogo, come 

 lo proveremo altrove (con esempì), ad infiniti tipi di superficie anche per va- 

 lori fìssati del genere p. 



Rendiconti. 1897, Voi. VI, 1° Sem. 19 



