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Cominceremo dunque ad esaminare lo superficie di genere lineare 



;><" — 2 con p>0 (p = l, p = 2). 

 E perverremo alla seguente conclusione: 



Le superficie algebriche di genere lineare p a) = 2 e di genere su- 

 perficiale (p 0 = p n =) p > 0 , possono riferirsi birazionalmente ad uno 

 dei seguenti tipi: 



1) p li) = 2 p = l: 



superficie F 6 del 6° ordine dotata di 3 rette cuspidali giacenti in un piano 

 e passanti per un punto dove la F 6 ha un contatto del 5° ordine con 

 sè stessa; 



2) p U) =2 p = 2: 



piano doppio z 2 = f{xy) con curva di diramazione f(xy) = 0 del 10° 

 ordine dotata di due punti 5pli infinitamente vicini. 



Diamo qui succintamente la dimostrazione del resultato. 



2. Dobbiamo richiamare anzitutto dalla teoria generale delle superficie 

 il seguente fatto fondamentale. 



Sopra una superficie di genere lineare p U) > 1 e genere superficiale p^>0 

 esiste (almeno) una effettiva curva canonica (d' ordine > 0) ('). 



Il sistema canonico ammette un sistema lineare aggiunto (*)> di cui la 

 dimensione vale 



P 2 — l=p+p< l) — 1 , 



il genere (virtuale) 



P 2 <» =3p ( » — 2 



il grado (virtuale) 



P,<» =4( j p< 1) — 1). 



Questo sistema è il sistema doppio (completo) del sistema canonico; 

 P 2 dicesi il bigenere della superficie. 



Analogamente il sistema bicanonico ammette un sistema aggiunto, triplo 

 del sistema canonico, che vien detto sistema tricanonico : la dimensione del 

 sistema tricanonico vale 



P 3 — 1 = j p + 3^< 1) — 3, 



il genere (virtuale) 



P,<» =6p lv — 5, 



(*) Cfr. la mia Memoria Sui piani doppi di genere uno. Mem. della Soc. it. delle 



Scienze, detta dei XL, 1896, § 4. 



( 2 ) Cfr. la mia Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche (ibidem), 

 cap. IV. 



