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il grado (virtuale) 



P 3 «> = 9Qj a > — à) 



(P 3 è il trigenere della superficie). 



Se la superficie ha curve canoniche irriducibili (non si esclude che esse 

 abbiano dei punti, base, comuni, i cui intorni vadano sommati ad esse) anche 

 le curve bicanoniche e tricanoniche riescono irriducibili: di più le curve 

 bicanoniche (cui una curva canonica presenta p (1) condizioni) non possono 

 avere punti base (nemmeno in punti multipli) sopra una curva canonica e 

 quindi non possono avere punti base sulla superficie ; perciò i caratteri effet- 

 tivi (genere e grado) del sistema bicanonico uguagliano in questo caso i ca- 

 ratteri virtuali. 



3. Ciò posto consideriamo le superficie F coi caratteri 



jp<» = 2 p = l, 



e supponiamo dapprima che sopra F (o su una conveniente trasformata di 

 essa) si abbia una curva canonica irriducibile. Le oo 2 curve bicanoniche 

 (irriducibili) di F non sono iperellittiche, giacché altrimenti, incontrandosi 

 esse in due coppie di punti coniugati (variabili), darebbero luogo, come si 

 verifica facilmente, ad un sistema completo oo 3 invece che oo 2 (sarebbe al- 

 lora p = 2 non p = 1). 



Perciò il sistema tricanonico su F è semplice, vale a dire le curve di 

 esso passanti per un punto generico non passano in conseguenza per altri 

 punti variabili col primo. Le curve tricanoniche incontrano la curva canonica 

 in 3 punti ; questi formano, sulla detta curva di genere 2, una serie g' 3 che 

 può avere al più un punto fisso, punto base semplice pel sistema tricanonico ; 

 segue che il genere effettivo delle curve tricanoniche uguaglia il suo valore 

 virtuale P 3 (1) = 7. Se si considerano le curve tricanoniche di F che passano 

 per un gruppo fissato della g' 3 , si ha un sistema lineare oo 3 che non pos- 

 siede altri punti base : un sistema irriducibile di genere 7, e grado 6. 

 Questo sistema è semplice almeno quando si sia fissato un gruppo generico 

 della g' 3 : per convincersene basta considerare la superficie F' di S 4 , trasfor- 

 mata di F, che ha per sezioni iperpiane le curve tricanoniche; la F' ha 

 l' ordine 9 o 8 (se il sistema tricanonico ha un punto base) ; vi è su F' una 

 retta 3pla o (risp.) 2pla a immagine della curva canonica, e la proiezione 

 della F' in S 3 fatta da un punto generico di questa retta riesce semplice se 

 la F' non contiene co' curve sezioni di piani per a ; ma in quest' ultimo 

 caso il sistema bicanonico segato su F' dagli iperpiani per a sarebbe ridu- 

 cibile, ciò che si è escluso. 



Possiamo dunque trasformare la data superficie F in una F 6 , del 6° 

 ordine, in S 3 , in modo che le sezioni piane di F 6 sieno le curve tricano- 



