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niche passanti per 3 punti rissi della curva canonica su F : la F c possiederò 

 3 rette eccezionali, passanti per un punto 0, corrispondenti ai 3 punti no- 

 minati. L' intorno del punto 0 rappresenterà su F c la curva canonica, e 

 quindi le sezioni piane per 0 daranno le curve bicanoniche. 



Le sezioni piane generiche di F G hanno il genere 7 : quelle fatte con 

 piani per 0 hanno il genere 4. Queste ultime si segano due a due in 4 

 punti variabili, quindi 0 è un punto doppio di F c : punto doppio particolare 

 dove la superficie ha un contatto con sè stessa; l'ordine del contatto (cioè 

 il numero dei punti doppi infinitamente vicini ad 0 sopra ogni sezione per 0) 

 è q -j- 2 , se e denota la molteplicità di 0 per la curva doppia di F 3 . 



Esaminiamo questa curva doppia. Essa ha 1' ordine 3, essendo 7 il ge- 

 nere delle sezioni piane di F e ; non può ridursi ad una retta tripla perchè 

 altrimenti le curve canoniche, bicanoniche e tricanoniche si comporrebbero 

 delle sezioni ellittiche di F 6 fatte coi piani per la retta tripla, e sarebbe 

 p V) = l . 



Indichiamo con C 3 la curva doppia di F 6 . 



Vi sono oo 2 superficie del 4° ordine biaggiunte ad F e seganti su di 

 essa le curve bicanoniche; esse si spezzano nei piani per 0 ed in una su- 

 perfìcie cubica fissa F 3 passante due volte per C 3 : segue di qui che la C 3 

 è una cubica piana e che la F 3 si compone del piano di C 3 contato due 

 volte e di un altro piano fisso a. Le condizioni che fissano il piano a pos- 

 sono soltanto essere espresse dal passaggio e dal contatto relativo a punti 

 multipli propri della, F 6 , e siccome è facile vedere che là F 0 non ha altri 

 punti siffatti all' infuori di 0, si conclude che il piano a deve passare per 0 

 e toccare in 0 la superficie, ossia deve essere il piano osculatore ad F 6 nel 

 punto 0, dove la F 6 ha un contatto con sè stessa. 



Consideriamo la quadrica aggiunta alla F 6 : essa si spezza nel piano 

 di C 3 e in un altro piano fisso che, per le medesime ragioni, deve essere 

 il piano a osculatore in 0, prima considerato. 



Ora se il piano a non fosse il piano di C 3 , il che avverrebbe se C 3 

 non passasse per 0, si avrebbe in a una curva del 6° ordine eccezionale, 

 mentre la F 6 ha, come sappiamo, soltanto 3 rette eccezionali. 



Dunque il piano di C 3 è il piano a e la C 3 ha in 0 almeno un punto 

 doppio > 2). 



Il piano a contato due volte soddisfa alle condizioni imposte dal punto 0 

 alle superficie aggiunte, ma vi soddisfa appena se la C 3 ha in 0 la molte- 

 plicità q = 2 e quindi la F 6 ha in 0 un contatto del 4° ordine con sè 

 stessa : siccome l' intorno di 0 deve rappresentare la curva canonica di F 6 , 

 la quadrica aggiunta (ossia il piano a) deve essere superaggiunta relativa- 

 mente al punto 0. Per ciò si esige che la C 3 abbia in 0 un punto mul- 

 tiplo di ordine q = 3, ossia che la C 3 si componga di 3 rette per 0 nel 

 piano a. Ed allora la F tì possiede 3 curve eccezionali date dagli intorni 



