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delle 3 rette doppie: essa avrà dunque (come deve avere) 3 rette eccezio- 

 nali se le 3 rette doppie nominate sono cuspidali. 



Ora si domanda : esisterà effettivamente una superficie F 6 del 6° ordine, 

 dotata di 3 rette cuspidali giacenti in un piano a e passanti per un punto 0 

 dove la F 6 abbia un contatto del 5° ordine con sè stessa? e una tale F c 

 avrà i càràtteri p = 1 , p {l) = 2? 



Le due domande ammettono risposta affermativa. 



Possiamo costruire una F 6 dotata delle singolarità domandate nel modo 

 seguente : 



Si prendano in un fascio di raggi 3 rette a ,b , e. Consideriamo una su- 

 perficie cubica F 3 per a ,b , c. Possiamo costruire un' altra F 3 passante pel- 

 ai ,b , c ed avente colla prima un contatto del 5° ordine nel punto 0 co- 

 mune alle 3 rette. Le due F 3 si toccano secondo le rette a ,b , c come risulta 

 dalla ordinaria rappresentazione piana di una di esse. Prendiamo il piano « 

 delle rette a ,b , c contato 3 volte ed un cono cubico r di vertice 0 : la coppia 

 di F 3 e la superficie a 3 dànno luogo ad un fascio di superficie irridu- 

 cibili del 6° ordine : la superficie generica F G del fascio ha appunto in 0 un 

 contatto del 5° ordine con sè stessa, e possiede le a , b , c come rette cu- 

 spidali. 



La F 6 dotata di queste singolarità ha anzitutto il genere geometrico 

 Pg — 1 perchè possiede una quadrica aggiunta: per essa anche il genere nu- 

 merico p n —l perchè, le sue sezioni piane avendo il genere 7, la F 6 pos- 

 siede oo 7 superficie cubiche aggiunte cioè le superficie cubiche passanti per 

 a, b , c , ed aventi in 0 un contatto del 4° ordine con una delle F 3 innanzi 

 considerate (il numero di queste superficie cubiche si valuta tenendo presente 

 la ordinaria rappresentazione piana della F 3 ). Infine la F G ha il genere lineare 

 p (1) = 2 ; ciò si desume dal fatto che il suo bigenere vale 



P 2 = + 1=3 



giacché si hanno oo 2 superficie cubiche biaggiunte alla F 6 , composte del 

 piano a contato due volte e di un qualsiasi piano per 0 : di ciò si ha una 

 conferma nel fatto che due curve bicanoniche di F 6 si segano in 4 (p a) — 1) = 4 

 punti ecc. 



4. La riducibilità della curva canonica sopra la superficie che si consi- 

 dera (p = 1 ,p w = 2) farebbe cadere in difetto il ragionamento svolto in- 

 nanzi, non permettendo di escludere a priori che le curve bicanoniche (o le 

 loro parti variabili) sieno iperellittiche con due punti base, o che essi si 

 spezzino in coppie di curve di genere due di un fascio. Ma la presenza di 

 nuovi tipi di superficie corrispondenti a questi casi, si escluderebbe a poste- 

 riori coli' analisi dei piani doppi con curva di diramazione d'ordine 10 o 8 

 cui tali superficie dovrebbero potersi riferire mediante il sistema bicanonico, 

 o mediante il sistema aggiunto al fascio di curve di genere due. 



