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4. Una retta r di S 4 è direttrice semplice di una rigata dell' ordine n-{- 1 , 

 dalla quale si stacca un cono dell' ordine m , se la retta r ha un punto co- 

 lmine con la F^. Sicché se r è trisecante della F^, ovvero se r è un raggio 

 di r, la rigata corrispondente si scinde in tre coni dell' ordine m. 



Da ciò si deduce senz' altro la notevole relazione 



(1) n-\-\ = 'òm 



che lega la classe e l'ordine di un cono del complesso r. 



5. I raggi del complesso che incontrano un piano « arbitrario, formano 

 una congruenza di ordine n -f- 1 ; di cui fanno parte x coni di ordine m , 

 dovuti agli x punti comuni ad « e ad F2*. 



Se il piano a è tale che sega F2* secondo una cubica piana, ogni retta 

 di ce appartiene a r e la congruenza corrispondente al piano si scinde nel 

 sistema dei fasci di raggi di a e nel sistema dei coni di r, i cui vertici 

 appartengono alla cubica. 



In tale caso, chiameremo a un piano parassito di r. 



6. Consideriamo ora nello spazio S 4 due spazii S, S' a tre dimensioni. 

 Per un punto M di S passa un solo raggio m di r, che sega S' in un 



punto M'. I punti M , M', al variare di m generano tra S ed S' una corri- 

 spondenza cremoniana C. 



Questa corrispondenza C ha per elementi fondamentali in S : 



1° una curva y x fondamentale m pla per la G, curva che è l'inter- 

 sezione di F 2 a con S ; 



2° ima curva C„ piana, di ordine n, fondamentale semplice. Questa 

 curva appartiene al piano <f comune ai due spazii S ed S' ed è l'interse- 

 sione di a con la rigata F' M di ordine n, costituita dalle rette di r ap- 

 partenenti ad S' ; 



3° n 2 — m*x rette fondamentali parassite. 



Di vero, per ogni punto M di y x passa un cono di raggi di r, di or- 

 dine m; e quindi ad M corrisponde in S' una curva fi m razionale, di or- 

 dine in. Sicché yx e una curva fondamentale m pla per lo spazio S. 



Inoltre ad ogni punto P della C n intersezione di F'„ con a corrisponde 

 per intero il raggio di r che passa per esso ed appartiene alla F' n , perchè 

 questo raggio appartiene ad S'. Sicché C„ è curva fondamentale semplice. 



Per ottenere finalmente il numero delle rette parassite, si osservi che 

 in S' esisterà una curva C'„ , analoga alla C„ , che trovasi pure nel piano a. 

 La C n e la C' n hanno n 2 punti comuni, ma x sono i punti comuni a e ed 

 alla F 2 X ed ognuno di questi punti è m pl ° per ciascuna delle curve. Dunque 

 i rimanenti punti comuni alle due curve sono n- — m l x . A questi corri- 

 sponderanno n 2 — m 2 x rette r parassite in S ed n 2 — m 2 x rette r' parassite 

 in S'. Queste rette parassite provengono dai piani che secano la F 2 * secondo 

 cubiche, cioè dai piani parassiti di r. Ognuno dei piani parassiti seca ri- 



