— 171 — 



esso è irriducibile, tale essendosi supposto il sistema canonico. Una curva 

 bicanonica sega le oo 1 curve canoniche di F , ciascuna in 4 punti variabili, 

 costituenti un gruppo della g\ canonica, perciò il sistema bicanonico non ha 

 punti base: segue che i precedenti caratteri di esso dati virtualmente sono 

 anche i suoi caratteri effettivi. Dimostriamo che le curve canoniche sono 

 iperellittiche, e perciò tutte le curve bicanoniche passanti per un punto della 

 superfìcie F passano in conseguenza per un altro punto variabile col primo. 

 Facciamo la dimostrazione per assurdo. 



Se le curve canoniche della superfìcie F non sono iperellittiche, in oppo- 

 sizione all'ipotesi precedente il sistema bicanonico è un sistema semplice, 

 e la superficie F si può trasformare in ima F 8 d'ordine 8 di S 4 , a sezioni 

 (iperpiane) di genere 7. La F 8 deve possedere un fascio autoresiduo di quar- 

 tiche piane (canoniche) di genere 3, i cui piani (segandosi a due a due 

 secondo una retta) hanno una retta fissa comune r. 



Ora mostreremo (per assurdo) che una siffatta F 8 non può esistere. 



In S 4 vi sono oo 34 varietà cubiche V 3 ; esse segano sulla F 8 (supposta 

 esistente) un sistema lineare che è (tutto o in parte) il sistema 6-canonico 

 (6plo del sistema canonico), ossia il sistema aggiunto al sistema 5-canonico. 



Il sistema 5-canonico di F 8 ha il genere 



P 5 <i> = hp w + 10 fjj (1) — 1) — 4 = 31, 

 e però il sistema 6-canonico ha la dimensione 



p 6 — 1 = jj + 31 — 1 = 32 . 



Segue che per F 8 passano almeno oo 1 varietà cubiche V 3 . Ora una V 3 

 per F 8 non può essere che un cono cubico di 2 a specie [di asse r, perchè 

 la V 3 contiene oo 1 quartiche in altrettanti piani per r. 



È dunque assurdo che esistano due V 3 per F 8 , giacché due coni cubici 

 di asse r non possono aver comuni che piani per r. 



È dunque assurda l'esistenza della F 8 . 



Segue che le curve canoniche della data superficie (p (l) — 3 , p — 2) 

 sono iperellittiche, e le curve bicanoniche passanti per, un punto (di una di 

 esse) passano in conseguenza per un altro punto coniugato del primo. 



Riferendo proiettivamente gli elementi (curve) del sistema bicanonico 

 agli iperpiani di S 4 , si ottiene ora (non più una F 8 semplice, ma) una F 4 

 (del 4° ordine) doppia (con una certa curva di diramazione) trasformata della 

 data superficie F. La F 4 deve essere razionale normale in S 4 , quindi a se- 

 zioni normali ellittiche; la F 4 è dunque la intersezione di due quadriche 

 di S 4 (superficie di Segre). 



Sulla F 4 le curve canoniche della data superficie F hanno per immagini 

 (doppie) le coniche d' un fascio autoresiduo : i piani di queste coniche pas- 

 Eendiconti. 1897, Voi. VI, 1° Sem. 23 



