sano per una retta r , non appartenente ad F 4 , e congiungente due punti 

 doppi A, B di P 4 . 



Vi sono su F 4 (in generale 16 rette, nel nostro caso) 8 rette, di cui 4 

 passano per A, 4 per B. Prendiamo una retta a per A. Gli iperpiani per a 

 segano su F., le cubiche C 3 di una rete omaloidica col punto base A. 



Una conica C 2 sezione di F 4 con un piano per r ed una C 3 , segano 

 su un'altra C 3 un gruppo di 3 punti (incluso il punto A), e siccome sulla 

 F 4 doppia |C 2 — f- C 3 | è il sistema aggiunto alla rete |C 3 |, si vede così che 

 le C 3 rappresentano, sulla superficie F riferita alla F 4 doppia, curve di 

 genere 4. 



Proiettiamo F 4 da a sopra un piano, essa verrà rappresentata su questo, 

 punto per punto. La data superfìcie F verrà dunque rappresentata sul piano 

 doppio ve , e (siccome le rette del piano sono le proiezioni delle C 3 ) la curva 

 di diramazione del detto piano doppio sarà una C 10 del 10° ordine, della 

 quale farà parte una retta a' immagine del punto A. Le immagini delle 

 sezioni iperpiane di F 4 , sul piano rr, sono date dalle cubiche che passano 

 per tre punti fissi A! A 2 A 3 di a' e per altri due punti fissi infinitamente 

 vicini B! B 2 (corrispondenti al punto doppio B di F 4 ), alle quali cubiche 

 si può aggiungere la parte fissa a'. 



Si trae di qui che le 8 rette di F 4 incontrano ciascuna in 4 punti 

 (inclusi i punti A o B) la curva di diramazione. Quindi la C 10 , curva di 

 diramazione del piano doppio re, ha 3 punti qudrupli in A! A 2 A 3 e due punti 

 tripli infinitamente vicini in B! B 2 . D'altra parte si verifica facilmente che: 

 il piano doppio con curva di diramazione Ciò dotata di due punti tripli 

 infinitamente vicini (riuniti in B) e di 3 punti quadrupli su una retta r (facente 

 parte di Ci 0 ) ha il genere superficiale 



P = ÌPg=Pn =)2 



e il genere lineare 



J9 (1) = 3 , 



avendosi, sul piano, come immagini delle curve canoniche le rette per B 

 (aumentate della parte fissa eccezionale r). 

 4. Passiamo alle superficie F coi caratteri 



f» = 3 p = l. 



Il sistema bicanonico ha la dimensione P 2 — 1=3, il genere 7 e il 

 grado 8, come nel caso precedente. Questi caratteri virtuali sono anche per 

 esso caratteri effettivi, giacché stante la supposta irriducibilità della curva 

 canonica il sistema bicanonico è irriducibile, ed inoltre esso non ha punti 

 base sulla curva canonica, giacché sega su questa curva la serie canonica 

 completa (p g ==p„ == p). 



