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Id generale il sistema bicanonico è semplice e si può quindi trasfor- 

 mare la F in una F 8 d'ordine 8 di S 3 , a sezioni piane del genere 7. La F 8 

 deve possedere una curva doppia d 4 dell'ordine 14, eventualmente riducibile 

 a curve d'ordine minore con maggiore molteplicità. 



Vediamo come si può caratterizzare la Cu nel caso generale. 



La F 8 possiede una superficie biaggiunta g> 7 , d'ordine 7, che presa in- 

 sieme ad un piano dà una biaggiunta <p & d'ordine 8 = 2.8 — 8. La ^ 

 possiede la C14 come curva doppia. La <j> 7 , supposta irriducibile, è dunque 

 una superficie a sezioni ellittiche, ed è una superfìcie razionale perchè per 

 la C J4 passa una superficie, <p 4 , del 4° ordine. 



D'altra parte si prenda una superficie <p 7 , del 7° ordine, razionale, a 

 sezioni ellittiche, e si consideri la sua curva doppia C u - È facile provare 

 che la Cu è curva doppia per una superficie irriducibile F 8 , di ordine 8, 

 coi caratteri 



j9<» = 3 p n =p g =p — 1 . 



Si può costruire una tale superficie F 8 considerando una superficie del 

 sistema lineare determinato dalla (p 7 aumentata di un piano e dalla y 4 

 (aggiunta a #> 7 ) contata due volte. 



La F 8 così costruita ha effettivamente il genere 



(p=) p n =.p g = l, 



ammettendo una superficie aggiunta del 4° ordine (anche secondo le formule 

 aritmetiche); essa possiede una curva canonica del 4° ordine, questa è una 

 quartica piana di genere p ny = 3 , come resta provato anche dal fatto che 

 le curve bicanoniche, sezioni piane, di F 8 la segano in 2 p a) — 2 = 4 punti. 

 Dunque il tipo generale delle superficie coi caratteri 



p = l p a) = 3 



è la superficie F 8 di ordine 8 avente come curva doppia, la curva C 14 del- 

 l'ordine 14 doppia per una superficie razionale del 7° ordine: tutti i caratteri 

 di questa curva doppia si possono valutare facilmente. 



In questo tipo generale rientrano, eventualmente in corrispondenza a 

 degenerazioni della Cu (e della #> 7 ), tutte le superficie coi nominati caratteri 

 p — 1 p a) = 3 (curva canonica irriducibile) salvo quella, che dovremo con- 

 siderare a parte, per cui il sistema bicanonico non riesce semplice: questa 

 infatti non rientra nel precedente tipo, almeno se non si vogliono riguardare 

 come possibili le degenerazioni della C 14 per cui degenera anche la F 8 stessa, 

 riducendosi ad una F 4 doppia. 



5. Procediamo dunque ad esaminare partitamente le superficie dotate 

 dei caratteri p a) — 3 , p = 1 (curva canonica irriducibile), sopra cui le curve 



