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bicanoniche passanti per un punto generico, passano in conseguenza per un 

 altro punto variabile col primo. In questo caso la curva canonica di F riesce 

 iperellittica, le curve bicanoniche segando su di essa la serie (completa) 

 doppia della g l 2 . Riferendo proiettivamente gli elementi (curve) del sistema 

 bicanonico di F si ottiene ora come trasformata di F, non più una F g sem- 

 plice, ma una F 4 , del 4° ordine, doppia. 



La F 4 è una superficie normale di S 3 e contiene una conica antoresidua 

 rispetto alle sezioni piane di F 4 , immagine della curva canonica di F. Il 

 piano della detta conica tocca in ciascun punto di essa conica la super- 

 ficie F 4 . 



La curva di diramazione della F 4 incontra la conica e quindi il piano 

 di essa in 8 punti; essa ha dunque l'ordine 8. Segue che le sezioni piane 

 di F 4 hanno il genere due, ossia la F 4 è la superficie (razionale) del 4° ordine 

 con retta doppia. 



La F 4 si può rappresentare sopra un piano n , assumendo come imma- 

 gini delle sue sezioni, le curve del 4° ordine C 4 che passano due volte per 

 un punto 0 ed una volta per 8 punti À! A 2 ... A 8 (*). 



Poiché la F 4 possiede un piano tangente secondo una conica, fra le C 4 

 ve n' è una che si riduce ad una conica contata due volte, e perciò gli 8 

 punti Ai ... A 8 compongono 4 coppie di punti infinitamente vicini A! A 2 , 

 A3 A 4 , A 5 Ag , A 7 Ag. 



Su F 4 vi è una rete omoloidica di quartiche, immagini delle rette del 

 piano ti , essa rappresenta su F un sistema di grado n = 2 e di un certo ge- 

 nere n : le curve del sistema sono incontrate dalle curve bicanoniche (sezioni 

 piane di F 4 contate due volte) in 2 j 2 (rt — 1) — n\ = S punti; dunque 

 si ha n = 4. Segue che la curva di diramazione C 8 della F 4 viene rappre- 

 sentata sul piano n da una curva del 10° ordine Ciò dotata del punto quadruplo 

 0 e delle coppie di punti tripli infinitamente vicini À! A 2 , A 3 A 4 , A 5 A 6 , A 7 A s . 



Il piano doppio dotato della curva di diramazione C 10 , fornisce effetti- 

 vamente (come si può verificare) una superficie coi caratteri 



ed è, per ciò che abbiamo visto, il tipo delle superficie dotate di questi 

 caratteri (curva canonica irriducibile) che hanno un sistema bicanonico non 

 semplice. 



Le verifiche relative ai caratteri dei piani doppi considerati in questa 

 Nota, verifiche che abbiamo omesso di sviluppare, si compiono subito come 

 corollario di alcuni resultati generali sui piani doppi, che avremo occasione 

 di esporre altrove. 



(') Clebsch, Ueber die Abbildung algebraischer Flàchen, insbesondere der vierten 

 und fùnften Ordnung. Mathem. Annalen, Bd I. Sturm, Mathem. Annalen, Bd. IV. 



