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come accennai, era anche nota: ma per ben chiarire questo concetto mi 

 limiterò a fare su di essa brevi, ma opportune osservazioni. Della terza 

 superficie F 2 5 mi occuperò poi a preferenza nella presente Nota, caratteriz- 

 zando così completamente le tre superficie focali suddette. 



1. Consideriamo dapprima la superficie F 2 4 . 



La F 2 4 è una superficie del 4° ordine non rigata, a sezioni spa- 

 ziali razionali, che ammette oo 3 trisecanti tali che per un punto arbitrario 

 dello S 4 ne passa una sola, e per un punto di essa ne passa un fascio di 

 raggi. 



Essa è dunque una superficie accennata dal prof. Del Pezzo (') ed è pro- 

 iettata da un punto 0 dello S 4 sul nostro spazio in una superficie romana di 

 Steiner. 



2. E noto pure ( 2 ) che la F 2 4 di un S 4 si può considerare come sezione 

 prodotta dallo S 4 in una varietà M 3 4 (cioè del 4° ordine e a tre dimensioni) 

 di un S 5 , rappresentabile sul nostro spazio S col sistema delle quadriche 

 passanti per 4 punti fissi. 



Sicché se da un punto 0 della M 3 4 proiettiamo la M 3 4 stessa sullo S 4 , 

 avremo una varietà V 3 3 a tre dimensioni e del 3° ordine, la quale conterrà 

 la F 2 4 sezione di M 3 4 con lo S 4 . Ed è chiaro che questa V 3 3 può rappre- 

 sentarsi sopra il nostro spazio S in modo che le sue sezioni spaziali corri- 

 spondono alle quadriche di un sistema oo 4 , avente per base 5 punti fissi. 

 E la F 2 4 si troverà appunto su questa V 3 3 . Ma una tale V 3 3 è appunto la 

 notevole varietà cubica del Segre, dotata di 10 punti doppi ( 3 ). Dunque : 

 La superficie F 2 4 appartiene ad una varietà cubica con 10 punti doppi. 



3. Ora una superficie F 2 4 del 4° ordine, che appartiene ad una V 3 3 con 

 10 punti doppi e che possegga come trisecanti un sistema di rette della 

 varietà, potrà avere per corrispondente, in uno spazio ordinario S , un piano e , 

 nella rappresentazione della V 3 3 mediante il sistema di quadriche passante 

 per 5 punti fissi. Dunque lo studio ulteriore della F 2 4 può farsi per questa 

 via, anzi è stato da me già fatto in gran parte in altro mio lavoro ( 4 ). 



Ciò basta a caratterizzare la superficie F 2 4 . 



4. Passiamo ora alla F 2 5 . 



Abbiamo già trovato ( 5 ) che: la F 2 5 è una superficie dì un S 4 a 

 sezioni spaziali di genere 1, che ammette oo 3 trisecanti. Per un punto ar- 



( 1 ) Del Pezzo, Sulle superficie dell' n. mo ordine immerse nello spazio di n dimensioni. 

 Eend. del Circ. Mat. di Palermo, t. I, fase. 4, 1887. 



( 2 ) Del Pezzo, Nota citata, § X, n. 53. 



( 3 ) Vedi la mia Nota: Sopra alcune involuzioni dello spazio. Eend. della R. Acc. 

 delle scienze fis. e mat. di Napoli, fase. 1°, 1896. 



( 4 ) Vedi la mia Nota testé citata: Sopra alcune involuzioni dello spazio. 



( 5 ) Cfr. la mia Nota citata « Sul complesso di 1° ordine delle trisecanti di una su- 

 perficie immersa in un S t ». 



