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Il cono sestico di rette diV 3 3 uscenti da un suo punto doppio D si scinde 

 in 2 coni cubici, appartenenti rispettivamente al 1° ed al 2° sistema di 

 rette. Uno spazio ordinario S sega questi 2 coni in 2 cubiche H 3 e K 3 situate 

 su di una quadrica ed appartenenti a due sistemi diversi, cioè aventi 5 punti 

 comuni, che sono le proiezioni su S da D degli altri punti doppi. 



Sicché proiettando da D la varietà V 3 3 sullo spazio S il sistema rappre- 

 sentativo delle sezioni spaziali di V 3 3 sarà costituito da superficie di 3° ordine 

 passanti per 2 cubiche H 3 e K 3 situate su di una quadrica ed aventi 5 punti 

 comune, cioè da P 3 == H 3 K 3 . 



Per avere la immagine sullo spazio S della superficie F 2 6 del Veronese, 

 consideriamo ancora le reti proiettive di spazi [a] , [ìf\ , \_<T\ . Queste gene- 

 rano un'altra varietà cubica W 3 3 , analoga a V 3 3 , la cui superficie sezione 

 con V 3 3 è rappresentata in S da una superficie S 9 = H 3 3 K 3 3 . Però le due 

 varietà V 3 3 e W 3 3 si segano, oltre che in una P 2 6 , ulteriormente in una su- 

 perfìcie di 3° ordine, luogo del punto d' intersezione di due piani corrispon- 

 denti appartenenti rispettivamente alle reti proiettive [a] e [b~\. Questa 

 intersezione residua ha per immagine in S una superficie P 3 =H 3 db' essendo 

 d , b' le rette corrispondenti ad a , b. Sicché tolta dalla S 9 = H 3 3 K 3 3 la 

 ¥ 3 = H 3 d b\ resta una S 7 = H 3 2 K 3 3 . Ma è chiaro che da questa S 7 si 

 stacca 2 volte la S 2 = H 3 K 3 rappresentante il punto doppio D (il che fa ve- 

 dere che V 3 3 e W 3 3 hanno il punto doppio D per entrambe in comune); 

 sicché resta allora una S 3 = K 3 che è l'immagine della superficie F 2 6 del 

 Veronese sullo spazio rappresentativo S. 



È facile allora vedere che le corde di H 3 formano il sistema delle trise- 

 canti della F 2 6 , mentre le rette che incontrano H 3 e K 3 sono le bisecanti e 

 le corde di K 3 le secanti semplici. 



Posto ciò, se le superficie P 2 5 ed P 2 4 fossero casi particolari della super- 

 ficie F 2 6 del Veronese, ciò non potrebbe succedere se non dal fatto che, spez- 

 zandosi la curva H 3 , la superficie rappresentativa della F 2 6 , cioè la S 3 = K 3 , 

 passando per una parte della H 3 , potrebbe rappresentare una superficie di 5° 

 o di 4° ordine. 



Ora se ciò accadesse, poiché le corde della H 3 rappresentano trisecanti 

 della P 2 6 , è chiaro che le superficie F 2 5 o P 2 4 che si otterrebbero, non potreb- 

 bero più ammettere un sistema co 3 di trisecanti, tali che per un punto dello 

 spazio S 4 , e quindi anche della varietà V 3 3 , ne passi sempre una ed una sola. 



Quindi le due superficie F 2 5 ed P 2 4 non possono ammettere la genesi 

 proiettiva della F 2 6 del Veronese, neanche riferendo opportunamente le quattro 

 reti proiettive di spazi ('). 



f 1 ) Si osservi pure a tal proposito che il Bordila nella Memoria: La superficie 

 del 6° ordine con 10 rette, nello spazio R 4 e le sue proiezioni nello spazio ordinario 

 (Atti della R. Acc. dei Lincei, 1887) riferendo opportunamente quattro reti proiettive di spazi 

 trova una P a 5 , ed una F 2 4 ma esse non ammettono trisecanti da costituire un complesso. 

 Rendiconti. 1897, Vol. VI, 1° Sem. 33 



